Номер 449, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 449, страница 84.

Условие.

449. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $(x - 3)(x + 7) - (x + 7)(x - 8) = 0;$

2) $(4x - 9)(x - 2) + (1 - x)(x - 2) = 0;$

3) $0,2x (x - 5) + 8(x - 5) = 0;$

4) $7(x - 7) - (x - 7)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дано уравнение $(x - 3)(x + 7) - (x + 7)(x - 8) = 0$.
В левой части уравнения есть общий множитель $(x + 7)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 7) \cdot ((x - 3) - (x - 8)) = 0$
Теперь упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:
$(x + 7) \cdot (x - 3 - x + 8) = 0$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке:
$(x + 7) \cdot 5 = 0$
$5(x + 7) = 0$
Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Так как $5 \neq 0$, то:
$x + 7 = 0$
$x = -7$
Ответ: -7

2) Дано уравнение $(4x - 9)(x - 2) + (1 - x)(x - 2) = 0$.
Общий множитель в левой части уравнения — это $(x - 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 2) \cdot ((4x - 9) + (1 - x)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 2) \cdot (4x - 9 + 1 - x) = 0$
$(x - 2) \cdot (3x - 8) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x - 2 = 0$ или $3x - 8 = 0$
Решаем первое уравнение:
$x_1 = 2$
Решаем второе уравнение:
$3x = 8$
$x_2 = \frac{8}{3}$
Ответ: 2; $\frac{8}{3}$

3) Дано уравнение $0,2x(x - 5) + 8(x - 5) = 0$.
Общий множитель в левой части — $(x - 5)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 5)(0,2x + 8) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0$ или $0,2x + 8 = 0$
Решаем первое уравнение:
$x_1 = 5$
Решаем второе уравнение:
$0,2x = -8$
$x_2 = \frac{-8}{0,2} = -40$
Ответ: -40; 5

4) Дано уравнение $7(x - 7) - (x - 7)^2 = 0$.
Общий множитель в левой части — $(x - 7)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 7) \cdot (7 - (x - 7)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 7) \cdot (7 - x + 7) = 0$
$(x - 7) \cdot (14 - x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 7 = 0$ или $14 - x = 0$
Решаем первое уравнение:
$x_1 = 7$
Решаем второе уравнение:
$14 = x$
$x_2 = 14$
Ответ: 7; 14