Номер 448, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 448, страница 84.

Условие.

448. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

1) $(x - 6)(2x - 4) + (x - 6)(8 - x);$

2) $(x^2 - 2)(3y + 5) - (x^2 - 2)(y + 12);$

3) $(4a - 3b)(5a + 8b) + (3b - 4a)(2a + b);$

4) $(p - 9)^4(2p + 1)^3 + (p - 9)^3(2p + 1)^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 6)(2x - 4) + (x - 6)(8 - x)$

Для разложения на множители вынесем общий множитель $(x - 6)$ за скобки. Это основной метод разложения на множители, который называется вынесением общего множителя за скобки.

$(x - 6)(2x - 4) + (x - 6)(8 - x) = (x - 6)((2x - 4) + (8 - x))$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(x - 6)(2x - 4 + 8 - x) = (x - 6)(x + 4)$

Ответ: $(x - 6)(x + 4)$

2) $(x^2 - 2)(3y + 5) - (x^2 - 2)(y + 12)$

В этом выражении общий множитель — это $(x^2 - 2)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2 - 2)((3y + 5) - (y + 12))$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе. Так как перед скобкой $(y + 12)$ стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$(x^2 - 2)(3y + 5 - y - 12)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 2)(2y - 7)$

Ответ: $(x^2 - 2)(2y - 7)$

3) $(4a - 3b)(5a + 8b) + (3b - 4a)(2a + b)$

Заметим, что множители $(4a - 3b)$ и $(3b - 4a)$ отличаются только знаком. Можно представить $(3b - 4a)$ как $-(4a - 3b)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4a - 3b)(5a + 8b) + (-(4a - 3b))(2a + b) = (4a - 3b)(5a + 8b) - (4a - 3b)(2a + b)$

Теперь мы видим общий множитель $(4a - 3b)$, который можно вынести за скобки:

$(4a - 3b)((5a + 8b) - (2a + b))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(4a - 3b)(5a + 8b - 2a - b) = (4a - 3b)(3a + 7b)$

Ответ: $(4a - 3b)(3a + 7b)$

4) $(p - 9)^4(2p + 1)^3 + (p - 9)^3(2p + 1)^4$

Общими множителями здесь являются выражения $(p - 9)$ и $(2p + 1)$. Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно взять каждое из этих выражений в наименьшей степени, в которой оно встречается в слагаемых. Наименьшая степень для $(p - 9)$ — это 3, а для $(2p + 1)$ — это 3.

Таким образом, общий множитель равен $(p - 9)^3(2p + 1)^3$. Вынесем его за скобки:

$(p - 9)^3(2p + 1)^3 \cdot [(p - 9)^{4-3}(2p + 1)^{3-3} + (p - 9)^{3-3}(2p + 1)^{4-3}]$

$(p - 9)^3(2p + 1)^3 \cdot [(p - 9)^1(2p + 1)^0 + (p - 9)^0(2p + 1)^1]$

Учитывая, что любое выражение в нулевой степени равно 1, получаем:

$(p - 9)^3(2p + 1)^3 \cdot [(p - 9) + (2p + 1)]

Упростим выражение в квадратных скобках:

$(p - 9)^3(2p + 1)^3 \cdot (p - 9 + 2p + 1) = (p - 9)^3(2p + 1)^3(3p - 8)$

Ответ: $(p - 9)^3(2p + 1)^3(3p - 8)$