Номер 451, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 451, страница 84.

Условие.

451. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $(2x - 6)^2$;

2) $(5y + 5)^2$;

3) $(36x + 30y)^2$;

4) $(2x + 4)^4$;

5) $(6x - 9y)^3$;

6) $(a^2 + ab)^2$;

7) $(-7a - 14ab)^2$;

8) $(3c^4 - 6c^3)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы вынести общий множитель из выражения $(2x - 6)^2$, сначала рассмотрим выражение в скобках: $2x - 6$. Общим множителем для слагаемых $2x$ и $6$ является $2$. Вынесем его за скобки:
$2x - 6 = 2(x - 3)$
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$(2(x - 3))^2$
По свойству степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки:
$2^2 \cdot (x - 3)^2 = 4(x - 3)^2$
Ответ: $4(x - 3)^2$

2) В выражении $(5y + 5)^2$ рассмотрим выражение в скобках: $5y + 5$. Общий множитель здесь $5$.
$5y + 5 = 5(y + 1)$
Подставим в исходное выражение:
$(5(y + 1))^2$
Используем свойство степени:
$5^2 \cdot (y + 1)^2 = 25(y + 1)^2$
Ответ: $25(y + 1)^2$

3) В выражении $(36x + 30y)^2$ найдем общий множитель для $36x$ и $30y$. Наибольший общий делитель для чисел $36$ и $30$ равен $6$.
$36x + 30y = 6(6x + 5y)$
Подставим в исходное выражение:
$(6(6x + 5y))^2$
Используем свойство степени:
$6^2 \cdot (6x + 5y)^2 = 36(6x + 5y)^2$
Ответ: $36(6x + 5y)^2$

4) В выражении $(2x + 4)^4$ общим множителем в скобках является $2$.
$2x + 4 = 2(x + 2)$
Подставим в исходное выражение:
$(2(x + 2))^4$
Используем свойство степени:
$2^4 \cdot (x + 2)^4 = 16(x + 2)^4$
Ответ: $16(x + 2)^4$

5) В выражении $(6x - 9y)^3$ найдем общий множитель для $6x$ и $9y$. Наибольший общий делитель для $6$ и $9$ равен $3$.
$6x - 9y = 3(2x - 3y)$
Подставим в исходное выражение:
$(3(2x - 3y))^3$
Используем свойство степени:
$3^3 \cdot (2x - 3y)^3 = 27(2x - 3y)^3$
Ответ: $27(2x - 3y)^3$

6) В выражении $(a^2 + ab)^2$ общим множителем в скобках является $a$.
$a^2 + ab = a(a + b)$
Подставим в исходное выражение:
$(a(a + b))^2$
Используем свойство степени:
$a^2 \cdot (a + b)^2 = a^2(a + b)^2$
Ответ: $a^2(a + b)^2$

7) В выражении $(-7a - 14ab)^2$ общим множителем в скобках является $-7a$.
$-7a - 14ab = -7a(1 + 2b)$
Подставим в исходное выражение:
$(-7a(1 + 2b))^2$
Используем свойство степени:
$(-7a)^2 \cdot (1 + 2b)^2 = (-7)^2 \cdot a^2 \cdot (1 + 2b)^2 = 49a^2(1 + 2b)^2$
Ответ: $49a^2(1 + 2b)^2$

8) В выражении $(3c^4 - 6c^3)^4$ найдем общий множитель для $3c^4$ и $6c^3$. Общий числовой множитель - $3$. Общий буквенный множитель - $c$ в наименьшей степени, то есть $c^3$. Таким образом, общий множитель - $3c^3$.
$3c^4 - 6c^3 = 3c^3(c - 2)$
Подставим в исходное выражение:
$(3c^3(c - 2))^4$
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 3^4 \cdot (c^3)^4 \cdot (c - 2)^4 = 81c^{12}(c - 2)^4$
Ответ: $81c^{12}(c - 2)^4$