Номер 458, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 458, страница 85.

Условие.

458. Найдите корни уравнения:

1) $(3x - 2)(3x + 2) - (2x - 5)(8x - 3) = 4x - 19;$

2) $\frac{1}{3}(12 + x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(3x - 2)(3x + 2) - (2x - 5)(8x - 3) = 4x - 19$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки. Первое произведение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов.

$( (3x)^2 - 2^2 ) - (2x \cdot 8x + 2x \cdot (-3) - 5 \cdot 8x - 5 \cdot (-3) ) = 4x - 19$

$(9x^2 - 4) - (16x^2 - 6x - 40x + 15) = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$9x^2 - 4 - (16x^2 - 46x + 15) = 4x - 19$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых в них на противоположные:

$9x^2 - 4 - 16x^2 + 46x - 15 = 4x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 - 16x^2) + 46x + (-4 - 15) = 4x - 19$

$-7x^2 + 46x - 19 = 4x - 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки:

$-7x^2 + 46x - 19 - 4x + 19 = 0$

$-7x^2 + (46x - 4x) + (-19 + 19) = 0$

$-7x^2 + 42x = 0$

Вынесем общий множитель $-7x$ за скобки:

$-7x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$-7x = 0$ или $x - 6 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 6$.

Ответ: $0; 6$.

2) $\frac{1}{3}(12 + x^3) = \frac{1}{9}x^2 + 4$

Для того, чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{9}$, который равен 9:

$9 \cdot \frac{1}{3}(12 + x^3) = 9 \cdot (\frac{1}{9}x^2 + 4)$

$3(12 + x^3) = 9 \cdot \frac{1}{9}x^2 + 9 \cdot 4$

$3(12 + x^3) = x^2 + 36$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$36 + 3x^3 = x^2 + 36$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки:

$3x^3 - x^2 + 36 - 36 = 0$

$3x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $0; \frac{1}{3}$.