Номер 454, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 454, страница 85.

Условие.

454. Докажите, что значение выражения:

1) $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12;

2) $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10;

3) $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42;

4) $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Докажем, что значение выражения $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12.

Для этого преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $25^{24}$:

$25^{25} - 25^{24} = 25^{24} \cdot 25^1 - 25^{24} \cdot 1 = 25^{24} \cdot (25 - 1) = 25^{24} \cdot 24$.

В полученном произведении один из множителей равен 24. Поскольку 24 делится нацело на 12 ($24 = 12 \cdot 2$), то и все произведение $25^{24} \cdot 24$ делится нацело на 12.

Ответ: доказано, что выражение делится нацело на 12.

2) Докажем, что значение выражения $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10.

Для этого представим все основания степеней в виде степеней числа 2:

$16 = 2^4$, $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$16^4 + 8^5 - 4^7 = (2^4)^4 + (2^3)^5 - (2^2)^7 = 2^{16} + 2^{15} - 2^{14}$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{14}$:

$2^{14} \cdot (2^2 + 2^1 - 2^0) = 2^{14} \cdot (4 + 2 - 1) = 2^{14} \cdot 5$.

Чтобы показать делимость на 10, представим $2^{14}$ как $2^{13} \cdot 2$:

$2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{13} \cdot 10$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 10, то все выражение делится нацело на 10.

Ответ: доказано, что выражение делится нацело на 10.

3) Докажем, что значение выражения $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42.

Представим 36 в виде $6^2$ и подставим в выражение:

$36^5 + 6^9 = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9$.

Вынесем за скобки общий множитель $6^9$:

$6^9 \cdot (6^1 + 1) = 6^9 \cdot (6 + 1) = 6^9 \cdot 7$.

Нам нужно доказать делимость на 42. Так как $42 = 6 \cdot 7$, представим $6^9$ как $6^8 \cdot 6$:

$6^8 \cdot 6 \cdot 7 = 6^8 \cdot (6 \cdot 7) = 6^8 \cdot 42$.

Поскольку один из множителей равен 42, то все произведение делится нацело на 42.

Ответ: доказано, что выражение делится нацело на 42.

4) Докажем, что значение выражения $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7.

Представим 10 в виде произведения $2 \cdot 5$:

$10^5 - 5^7 = (2 \cdot 5)^5 - 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 - 5^7$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^5$:

$5^5 \cdot (2^5 - 5^2) = 5^5 \cdot (32 - 25) = 5^5 \cdot 7$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 7, то все выражение делится нацело на 7.

Ответ: доказано, что выражение делится нацело на 7.