Номер 450, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 450, страница 84.

Условие.

450. Решите уравнение, используя разложение на множители:

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0;$

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0;$

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0;$

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(2x - 9)(x + 6) - x(x + 6) = 0$

В данном уравнении есть общий множитель $(x + 6)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 6)((2x - 9) - x) = 0$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(x + 6)(2x - 9 - x) = 0$

$(x + 6)(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x + 6 = 0$ или $x - 9 = 0$

Решая эти простые уравнения, находим корни:

$x_1 = -6$

$x_2 = 9$

Ответ: $-6; 9$.

2) $(3x + 4)(x - 10) + (10 - x)(x - 8) = 0$

Заметим, что выражение $(10 - x)$ можно представить как $-(x - 10)$. Заменим это в уравнении:

$(3x + 4)(x - 10) - (x - 10)(x - 8) = 0$

Теперь у нас есть общий множитель $(x - 10)$, который мы можем вынести за скобки:

$(x - 10)((3x + 4) - (x - 8)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 10)(3x + 4 - x + 8) = 0$

$(x - 10)(2x + 12) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 10 = 0$ или $2x + 12 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 10$

$2x = -12 \implies x_2 = -6$

Ответ: $-6; 10$.

3) $3(3x + 1)^2 - 4(3x + 1) = 0$

Общим множителем здесь является $(3x + 1)$. Выносим его за скобки:

$(3x + 1)(3(3x + 1) - 4) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x + 1)(9x + 3 - 4) = 0$

$(3x + 1)(9x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$3x + 1 = 0$ или $9x - 1 = 0$

Находим корни:

$3x = -1 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$

$9x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{9}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{9}$.

4) $(9x - 12) - x(9x - 12) = 0$

Вынесем общий множитель $(9x - 12)$ за скобки. Перед первой скобкой можно представить множитель 1:

$1 \cdot (9x - 12) - x(9x - 12) = 0$

$(9x - 12)(1 - x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$9x - 12 = 0$ или $1 - x = 0$

Находим корни:

$9x = 12 \implies x_1 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$x_2 = 1$

Ответ: $1; \frac{4}{3}$.