Номер 443, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 443, страница 84.

Условие.

443. Разложите на множители:

1) $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3$;

2) $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n$;

3) $xy^2 + x^2y - xy$;

4) $9x^3 + 4x^2 - x$;

5) $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6$;

6) $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения на множители выражения $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3$ найдем и вынесем за скобки наибольший общий делитель всех его членов. Общий числовой множитель для коэффициентов 2, -4 и 6 равен 2. Общий множитель для переменных — это переменные с наименьшей степенью, то есть $a^2$ и $b$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $2a^2b$. Выполним вынесение за скобки: $2a^2b(\frac{2a^5b^2}{2a^2b} - \frac{4a^3b}{2a^2b} + \frac{6a^2b^3}{2a^2b}) = 2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.
Ответ: $2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.

2) В выражении $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n$ общим множителем является произведение переменных в наименьших степенях, которые встречаются в каждом члене. Для $m$ это $m^1$, а для $n$ это $n^1$. Числовые коэффициенты 1, 5, -7 не имеют общего делителя кроме 1. Значит, общий множитель — $mn$. Выносим его за скобки: $mn(\frac{mn^3}{mn} + \frac{5m^2n^2}{mn} - \frac{7m^2n}{mn}) = mn(n^2 + 5mn - 7m)$.
Ответ: $mn(n^2 + 5mn - 7m)$.

3) В выражении $xy^2 + x^2y - xy$ общий множитель для всех членов — это $xy$, так как это наименьшие степени переменных $x$ и $y$, присутствующие в каждом слагаемом. Вынесение общего множителя за скобки дает: $xy(\frac{xy^2}{xy} + \frac{x^2y}{xy} - \frac{xy}{xy}) = xy(y + x - 1)$.
Ответ: $xy(x + y - 1)$.

4) В многочлене $9x^3 + 4x^2 - x$ все члены содержат переменную $x$. Наименьшая степень $x$ — это $x^1$. Числовые коэффициенты 9, 4, -1 не имеют общих делителей. Следовательно, за скобки можно вынести только $x$. Получаем: $x(\frac{9x^3}{x} + \frac{4x^2}{x} - \frac{x}{x}) = x(9x^2 + 4x - 1)$.
Ответ: $x(9x^2 + 4x - 1)$.

5) Для разложения на множители выражения $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для модулей коэффициентов 6, 8, 2 равен 2. Поскольку все члены отрицательны, удобно вынести -2. Наименьшая степень переменной $m$ — это $m^4$. Общий множитель равен $-2m^4$. Выносим его: $-2m^4(\frac{-6m^4}{-2m^4} + \frac{-8m^5}{-2m^4} + \frac{-2m^6}{-2m^4}) = -2m^4(3 + 4m + m^2)$. Полученный в скобках квадратный трехчлен $m^2 + 4m + 3$ можно разложить на множители. Его корни $m_1 = -1$ и $m_2 = -3$, поэтому $m^2 + 4m + 3 = (m+1)(m+3)$. Окончательный результат: $-2m^4(m+1)(m+3)$.
Ответ: $-2m^4(m+1)(m+3)$.

6) В выражении $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 42, 28, 70 равен 14. Наименьшая степень переменной $a$ — это $a^3$. Наименьшая степень переменной $b$ — это $b$. Таким образом, общий множитель — $14a^3b$. Выносим его за скобки: $14a^3b(\frac{42a^4b}{14a^3b} - \frac{28a^3b^2}{14a^3b} - \frac{70a^5b^3}{14a^3b}) = 14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.
Ответ: $14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.