Номер 467, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 467, страница 86.

Условие.

467. При каком значении $a$ не имеет корней уравнение:

1) $(x+1)(x-3) - x(x-3) = ax;$

2) $x(5x-1) - (x-a)(5x-1) = 4x - 2a;$

3) $(2x-5)(x+a) - (2x+3)(x+1) = 4?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x + 1)(x - 3) - x(x - 3) = ax$
Для решения этого уравнения сначала упростим его левую часть. Можно заметить, что $(x-3)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:
$(x - 3) \cdot ((x + 1) - x) = ax$
$(x - 3) \cdot 1 = ax$
$x - 3 = ax$
Теперь приведем уравнение к стандартному линейному виду $kx = b$, для этого перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$x - ax = 3$
$x(1 - a) = 3$
Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет корней в том и только в том случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($k = 0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$). В нашем случае $k = 1 - a$ и $b = 3$.
Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:
$1 - a = 0 \Rightarrow a = 1$
При этом значении $a$ свободный член $b = 3$, что не равно нулю. Таким образом, при $a=1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$, которое не имеет решений.
Ответ: $a=1$.

2) $x(5x - 1) - (x - a)(5x - 1) = 4x - 2a$
Упростим левую часть уравнения, вынеся общий множитель $(5x - 1)$ за скобки:
$(5x - 1) \cdot (x - (x - a)) = 4x - 2a$
$(5x - 1) \cdot (x - x + a) = 4x - 2a$
$(5x - 1) \cdot a = 4x - 2a$
$5ax - a = 4x - 2a$
Приведем уравнение к виду $kx = b$. Перенесем слагаемые с $x$ влево, а остальные — вправо:
$5ax - 4x = -2a + a$
$x(5a - 4) = -a$
Уравнение не имеет корней, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю. Здесь $k = 5a - 4$ и $b = -a$.
Найдем значение $a$, при котором коэффициент $k$ равен нулю:
$5a - 4 = 0 \Rightarrow 5a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{5}$
Теперь проверим, не равна ли нулю правая часть $b$ при этом значении $a$:
$b = -a = -\frac{4}{5}$
Поскольку $b = -\frac{4}{5} \neq 0$, условие выполняется. При $a = \frac{4}{5}$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -\frac{4}{5}$, которое не имеет решений.
Ответ: $a = \frac{4}{5}$.

3) $(2x - 5)(x + a) - (2x + 3)(x + 1) = 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(2x^2 + 2ax - 5x - 5a) - (2x^2 + 2x + 3x + 3) = 4$
$2x^2 + 2ax - 5x - 5a - 2x^2 - 5x - 3 = 4$
Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$(2ax - 5x - 5x) - 5a - 3 = 4$
$x(2a - 10) - 5a - 3 = 4$
Перенесем свободные члены в правую часть, чтобы получить уравнение вида $kx = b$:
$x(2a - 10) = 4 + 5a + 3$
$x(2a - 10) = 5a + 7$
Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть — нет. В данном случае $k = 2a - 10$ и $b = 5a + 7$.
Приравняем коэффициент $k$ к нулю:
$2a - 10 = 0 \Rightarrow 2a = 10 \Rightarrow a = 5$
Проверим значение правой части $b$ при $a = 5$:
$b = 5(5) + 7 = 25 + 7 = 32$
Поскольку $b = 32 \neq 0$, условие выполняется. При $a=5$ уравнение имеет вид $0 \cdot x = 32$ и не имеет решений.
Ответ: $a=5$.