Номер 470, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 470, страница 86.

Условие.

470. Упростите выражение:

1) $0,42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2;$

2) $1,2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6;$

3) $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot \left(\frac{3}{7}np^4\right)^2;$

4) $\left(1\frac{1}{2}x^2y^3\right)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $0,42ac^3 \cdot 1\frac{3}{7}a^4c^2$

Чтобы упростить выражение, сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$0,42 = \frac{42}{100} = \frac{21}{50}$

$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

Теперь подставим эти дроби обратно в выражение и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$\frac{21}{50}ac^3 \cdot \frac{10}{7}a^4c^2 = (\frac{21}{50} \cdot \frac{10}{7}) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (c^3 \cdot c^2)$

Упростим произведение коэффициентов:

$\frac{21 \cdot 10}{50 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 10}{5 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{3}{5} = 0,6$

Упростим произведение переменных, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$

$c^3 \cdot c^2 = c^{3+2} = c^5$

Объединим все части:

$0,6a^5c^5$

Ответ: $0,6a^5c^5$

2) $1,2xyz \cdot 2\frac{1}{6}x^5y^6$

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$

Перепишем выражение с новыми коэффициентами:

$\frac{6}{5}xyz \cdot \frac{13}{6}x^5y^6 = (\frac{6}{5} \cdot \frac{13}{6}) \cdot (x \cdot x^5) \cdot (y \cdot y^6) \cdot z$

Перемножим коэффициенты:

$\frac{6 \cdot 13}{5 \cdot 6} = \frac{13}{5} = 2,6$

Перемножим переменные:

$x \cdot x^5 = x^{1+5} = x^6$

$y \cdot y^6 = y^{1+6} = y^7$

Соберем итоговое выражение:

$2,6x^6y^7z$

Ответ: $2,6x^6y^7z$

3) $-2\frac{1}{3}m^2np^3 \cdot (\frac{3}{7}np^4)^2$

Сначала возведем второй множитель в квадрат, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(\frac{3}{7}np^4)^2 = (\frac{3}{7})^2 \cdot n^2 \cdot (p^4)^2 = \frac{9}{49}n^2p^8$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Теперь перемножим одночлены:

$-\frac{7}{3}m^2np^3 \cdot \frac{9}{49}n^2p^8 = (-\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{49}) \cdot m^2 \cdot (n \cdot n^2) \cdot (p^3 \cdot p^8)$

Упростим произведение коэффициентов:

$-\frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 49} = -\frac{7 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 7 \cdot 7} = -\frac{3}{7}$

Упростим произведение переменных:

$n \cdot n^2 = n^{1+2} = n^3$

$p^3 \cdot p^8 = p^{3+8} = p^{11}$

Объединим результаты:

$-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$

Ответ: $-\frac{3}{7}m^2n^3p^{11}$

4) $(1\frac{1}{2}x^2y^3)^5 \cdot \frac{16}{27}x^8y^2$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Возведем первый множитель в пятую степень:

$(\frac{3}{2}x^2y^3)^5 = (\frac{3}{2})^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 = \frac{3^5}{2^5}x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5} = \frac{243}{32}x^{10}y^{15}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$\frac{243}{32}x^{10}y^{15} \cdot \frac{16}{27}x^8y^2 = (\frac{243}{32} \cdot \frac{16}{27}) \cdot (x^{10} \cdot x^8) \cdot (y^{15} \cdot y^2)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$\frac{243 \cdot 16}{32 \cdot 27} = \frac{243}{27} \cdot \frac{16}{32} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$

Перемножим переменные:

$x^{10} \cdot x^8 = x^{10+8} = x^{18}$

$y^{15} \cdot y^2 = y^{15+2} = y^{17}$

Объединим все части:

$4,5x^{18}y^{17}$

Ответ: $4,5x^{18}y^{17}$