Номер 476, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 476, страница 88.

Условие.

476. Разложите на множители многочлен:

1) $ma + mb + 4a + 4b;$

2) $3x + cy + cx + 3y;$

3) $5a - 5b + ap - bp;$

4) $7m + mn + 7 + n;$

5) $a - 1 + ab - b;$

6) $xy + 8y - 2x - 16;$

7) $ab + ac - b - c;$

8) $3p - 3k - 4ap + 4ak.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Исходный многочлен: $ma + mb + 4a + 4b$.
Сгруппируем слагаемые попарно: первые два и последние два. Получим выражение: $(ma + mb) + (4a + 4b)$.
В каждой группе вынесем общий множитель за скобки. В первой группе это $m$, во второй — $4$.
$m(a + b) + 4(a + b)$.
Теперь общим множителем является выражение в скобках $(a + b)$. Вынесем его за скобки.
$(a + b)(m + 4)$.

Ответ: $(a + b)(m + 4)$.

2)

Исходный многочлен: $3x + cy + cx + 3y$.
Для удобства поменяем местами второе и третье слагаемые: $3x + cx + cy + 3y$.
Сгруппируем их попарно: $(3x + cx) + (cy + 3y)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $x$, во второй — $y$.
$x(3 + c) + y(c + 3)$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $(c+3) = (3+c)$. Общий множитель для получившихся слагаемых — это $(3 + c)$. Вынесем его за скобки.
$(3 + c)(x + y)$.

Ответ: $(x + y)(3 + c)$.

3)

Исходный многочлен: $5a - 5b + ap - bp$.
Сгруппируем слагаемые попарно: $(5a - 5b) + (ap - bp)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $5$, во второй — $p$.
$5(a - b) + p(a - b)$.
Общий множитель $(a - b)$ выносим за скобки.
$(a - b)(5 + p)$.

Ответ: $(a - b)(5 + p)$.

4)

Исходный многочлен: $7m + mn + 7 + n$.
Перегруппируем слагаемые для удобства: $7m + 7 + mn + n$.
Сгруппируем их попарно: $(7m + 7) + (mn + n)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $7$, во второй — $n$.
$7(m + 1) + n(m + 1)$.
Общий множитель $(m + 1)$ выносим за скобки.
$(m + 1)(7 + n)$.

Ответ: $(m + 1)(7 + n)$.

5)

Исходный многочлен: $a - 1 + ab - b$.
Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым: $(a - 1) + (ab - b)$.
Вынесем общий множитель из второй группы, это $b$.
$(a - 1) + b(a - 1)$.
Можно представить первое слагаемое как $1 \cdot (a - 1)$, тогда выражение примет вид: $1 \cdot (a - 1) + b(a - 1)$.
Теперь выносим общий множитель $(a - 1)$ за скобки.
$(a - 1)(1 + b)$.

Ответ: $(a - 1)(b + 1)$.

6)

Исходный многочлен: $xy + 8y - 2x - 16$.
Сгруппируем слагаемые попарно: $(xy + 8y) + (-2x - 16)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $y$, во второй — $-2$.
$y(x + 8) - 2(x + 8)$.
Общий множитель $(x + 8)$ выносим за скобки.
$(x + 8)(y - 2)$.

Ответ: $(x + 8)(y - 2)$.

7)

Исходный многочлен: $ab + ac - b - c$.
Сгруппируем слагаемые попарно: $(ab + ac) + (-b - c)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a$, во второй — $-1$.
$a(b + c) - 1(b + c)$.
Общий множитель $(b + c)$ выносим за скобки.
$(b + c)(a - 1)$.

Ответ: $(a - 1)(b + c)$.

8)

Исходный многочлен: $3p - 3k - 4ap + 4ak$.
Сгруппируем слагаемые попарно: $(3p - 3k) + (-4ap + 4ak)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $3$, во второй — $-4a$. При вынесении отрицательного множителя $-4a$ знаки в скобках меняются на противоположные.
$3(p - k) - 4a(p - k)$.
Общий множитель $(p - k)$ выносим за скобки.
$(p - k)(3 - 4a)$.

Ответ: $(p - k)(3 - 4a)$.