Номер 478, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 478, страница 88.

Условие.

478. Разложите на множители многочлен:

1) $a^3 + a^2 + a + 1;$

2) $x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 12;$

3) $c^6 - 10c^4 - 5c^2 + 50;$

4) $y^3 - 18 + 6y^2 - 3y;$

5) $a^2 - ab + ac - bc;$

6) $20a^3bc - 28ac^2 + 15a^2b^2 - 21bc;$

7) $x^2y^2 + xy + axy + a;$

8) $24x^6 - 44x^4y - 18x^2y^3 + 33y^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения многочлена $a^3 + a^2 + a + 1$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(a^3 + a^2) + (a + 1)$. Из первой скобки вынесем общий множитель $a^2$, получим $a^2(a + 1) + 1(a + 1)$. Теперь мы видим общий множитель $(a + 1)$, который также можно вынести за скобки: $(a + 1)(a^2 + 1)$.
Ответ: $(a + 1)(a^2 + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 12$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(x^5 - 3x^3) + (4x^2 - 12)$. В первой группе вынесем за скобки $x^3$, а во второй — 4. Получим: $x^3(x^2 - 3) + 4(x^2 - 3)$. Общий множитель $(x^2 - 3)$ выносим за скобки: $(x^2 - 3)(x^3 + 4)$.
Ответ: $(x^2 - 3)(x^3 + 4)$

3) Для многочлена $c^6 - 10c^4 - 5c^2 + 50$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(c^6 - 10c^4) + (-5c^2 + 50)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $c^4(c^2 - 10) - 5(c^2 - 10)$. Теперь вынесем общий множитель $(c^2 - 10)$ за скобки: $(c^2 - 10)(c^4 - 5)$.
Ответ: $(c^2 - 10)(c^4 - 5)$

4) В многочлене $y^3 - 18 + 6y^2 - 3y$ сначала переставим слагаемые для удобства группировки: $y^3 + 6y^2 - 3y - 18$. Сгруппируем их попарно: $(y^3 + 6y^2) + (-3y - 18)$. Вынесем из первой группы $y^2$, а из второй -3: $y^2(y + 6) - 3(y + 6)$. Общий множитель $(y + 6)$ выносим за скобки: $(y + 6)(y^2 - 3)$.
Ответ: $(y + 6)(y^2 - 3)$

5) Разложим на множители $a^2 - ab + ac - bc$ методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(a^2 - ab) + (ac - bc)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $a(a - b) + c(a - b)$. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $(a - b)(a + c)$.
Ответ: $(a - b)(a + c)$

6) В многочлене $20a^3bc - 28ac^2 + 15a^2b^2 - 21bc$ сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать первое с третьим и второе с четвертым: $(20a^3bc + 15a^2b^2) + (-28ac^2 - 21bc)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $5a^2b(4ac + 3b) - 7c(4ac + 3b)$. Общий множитель $(4ac + 3b)$ выносим за скобки: $(4ac + 3b)(5a^2b - 7c)$.
Ответ: $(4ac + 3b)(5a^2b - 7c)$

7) Разложим на множители $x^2y^2 + xy + axy + a$ методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(x^2y^2 + xy) + (axy + a)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $xy(xy + 1) + a(xy + 1)$. Общий множитель $(xy + 1)$ выносим за скобки: $(xy + 1)(xy + a)$.
Ответ: $(xy + 1)(xy + a)$

8) Для разложения многочлена $24x^6 - 44x^4y - 18x^2y^3 + 33y^4$ на множители сгруппируем слагаемые: $(24x^6 - 44x^4y) + (-18x^2y^3 + 33y^4)$. Вынесем общие множители: из первой группы $4x^4$, а из второй $-3y^3$. Получим: $4x^4(6x^2 - 11y) - 3y^3(6x^2 - 11y)$. Вынесем общий множитель $(6x^2 - 11y)$ за скобки: $(6x^2 - 11y)(4x^4 - 3y^3)$.
Ответ: $(6x^2 - 11y)(4x^4 - 3y^3)$