Номер 485, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 485, страница 89.

Условие.

485. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $ab + ac + ad + bx + cx + dx;$

2) $7p - 7k - px + kx + k - p;$

3) $x^3y^3 - x^2y^2 + xy - 6 + 6xy - 6x^2y^2;$

4) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $ab + ac + ad + bx + cx + dx$
Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых имеют общий множитель $a$, а последние три слагаемых имеют общий множитель $x$.
$(ab + ac + ad) + (bx + cx + dx)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:
$a(b + c + d) + x(b + c + d)$
Теперь полученное выражение имеет общий множитель $(b + c + d)$, который мы также можем вынести за скобки:
$(a + x)(b + c + d)$
Ответ: $(a + x)(b + c + d)$

2) $7p - 7k - px + kx + k - p$
Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители. Сгруппируем члены с коэффициентом 7, члены с переменной $x$, и оставшиеся члены:
$(7p - 7k) + (kx - px) + (k - p)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$7(p - k) + x(k - p) + (k - p)$
Заметим, что $(p - k) = -(k - p)$. Подставим это в выражение:
$-7(k - p) + x(k - p) + 1(k - p)$
Теперь вынесем общий множитель $(k - p)$ за скобки:
$(k - p)(-7 + x + 1)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(k - p)(x - 6)$
Ответ: $(k - p)(x - 6)$

3) $x³y³ - x²y² + xy - 6 + 6xy - 6x²y²$
Сначала сгруппируем слагаемые, не приводя подобные. Сгруппируем слагаемые, не содержащие множитель 6, и слагаемые, содержащие множитель 6:
$(x³y³ - x²y² + xy) + (-6x²y² + 6xy - 6)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $xy$, а во второй — $-6$.
$xy(x²y² - xy + 1) - 6(x²y² - xy + 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(x²y² - xy + 1)$, который можно вынести за скобки:
$(xy - 6)(x²y² - xy + 1)$
Ответ: $(xy - 6)(x²y² - xy + 1)$

4) $a⁵ - a⁴b + a³b² - a²b³ + ab⁴ - b⁵$
Сгруппируем слагаемые попарно в том порядке, в котором они даны:
$(a⁵ - a⁴b) + (a³b² - a²b³) + (ab⁴ - b⁵)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой паре:
$a⁴(a - b) + a²b²(a - b) + b⁴(a - b)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a⁴ + a²b² + b⁴)$
Выражение во второй скобке, $(a⁴ + a²b² + b⁴)$, можно разложить дальше. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $a²b²$:
$a⁴ + a²b² + b⁴ = (a⁴ + 2a²b² + b⁴) - a²b² = (a²)² + 2(a²)(b²) + (b²)² - (ab)² = (a² + b²)² - (ab)²$
Теперь применим формулу разности квадратов $x² - y² = (x - y)(x + y)$:
$(a² + b² - ab)(a² + b² + ab)$
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)$
Ответ: $(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)$