Номер 489, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 489, страница 89.

Условие.

489. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на $6$, преобразуем это выражение, разложив его на множители.

1. Разложение выражения на множители

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + 3n + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются числа $n_1 = -1$ и $n_2 = -2$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

$n^2 + 3n + 2 = (n - (-1))(n - (-2)) = (n+1)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$n^3 + 3n^2 + 2n = n(n+1)(n+2)$

2. Доказательство делимости на 6

Полученное выражение $n(n+1)(n+2)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел. Чтобы доказать, что это произведение делится на $6$, необходимо показать, что оно делится на $2$ и на $3$ одновременно (поскольку $6 = 2 \times 3$, а числа $2$ и $3$ — взаимно простые).

• Делимость на 2: Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным. В наборе из трех последовательных чисел ($n$, $n+1$, $n+2$) есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на $2$.
• Делимость на 3: Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на $3$. Следовательно, их произведение всегда делится на $3$.

Поскольку произведение $n(n+1)(n+2)$ делится и на $2$, и на $3$, оно также делится на их произведение, то есть на $6$.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на $6$ при всех натуральных значениях $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$ можно представить в виде произведения трех последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)$, которое всегда делится на $2$ и на $3$, а следовательно, делится на $6$.