Номер 487, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 487, страница 89.

Условие.

487. Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

1) $x^2 + 8x + 12;$

2) $x^2 - 5x + 4;$

3) $x^2 + 7x - 8;$

4) $x^2 - 4x - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы разложить трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, представив один из его членов в виде суммы, нужно найти два числа, $m$ и $n$, такие, что их сумма равна $b$, а произведение равно $ac$. Затем средний член $bx$ заменяется на $mx + nx$, и далее применяется метод группировки.

1) $x^2 + 8x + 12$

В данном случае $a=1, b=8, c=12$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно $1 \cdot 12 = 12$. Этими числами являются 2 и 6, так как $2+6=8$ и $2 \cdot 6=12$.

Представим средний член $8x$ в виде суммы $2x + 6x$:

$x^2 + 8x + 12 = x^2 + 2x + 6x + 12$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 + 2x) + (6x + 12) = x(x+2) + 6(x+2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x+2)(x+6)$

Ответ: $(x+2)(x+6)$

2) $x^2 - 5x + 4$

Здесь $a=1, b=-5, c=4$. Ищем два числа, сумма которых равна -5, а произведение равно $1 \cdot 4 = 4$. Это числа -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.

Представим $-5x$ как $-x - 4x$:

$x^2 - 5x + 4 = x^2 - x - 4x + 4$

Сгруппируем и вынесем общие множители:

$(x^2 - x) + (-4x + 4) = x(x-1) - 4(x-1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)(x-4)$

Ответ: $(x-1)(x-4)$

3) $x^2 + 7x - 8$

Здесь $a=1, b=7, c=-8$. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно $1 \cdot (-8) = -8$. Это числа 8 и -1, так как $8 + (-1) = 7$ и $8 \cdot (-1) = -8$.

Представим $7x$ как $8x - x$:

$x^2 + 7x - 8 = x^2 + 8x - x - 8$

Сгруппируем и вынесем общие множители:

$(x^2 + 8x) + (-x - 8) = x(x+8) - 1(x+8)$

Вынесем общий множитель $(x+8)$:

$(x+8)(x-1)$

Ответ: $(x+8)(x-1)$

4) $x^2 - 4x - 5$

Здесь $a=1, b=-4, c=-5$. Ищем два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно $1 \cdot (-5) = -5$. Это числа -5 и 1, так как $-5 + 1 = -4$ и $-5 \cdot 1 = -5$.

Представим $-4x$ как $-5x + x$:

$x^2 - 4x - 5 = x^2 - 5x + x - 5$

Сгруппируем и вынесем общие множители:

$(x^2 - 5x) + (x - 5) = x(x-5) + 1(x-5)$

Вынесем общий множитель $(x-5)$:

$(x-5)(x+1)$

Ответ: $(x-5)(x+1)$