Номер 490, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 490, страница 89.

Условие.

490. Разложите на множители многочлен:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители, можно использовать метод группировки или применить формулу квадрата суммы трех слагаемых. Рассмотрим метод группировки, который пошагово приводит к результату.

Исходный многочлен: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.

Сгруппируем первые три слагаемых, которые напоминают формулу квадрата суммы двух чисел $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Выделим из многочлена слагаемые, содержащие $a$ и $b$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + c^2 + 2bc + 2ac$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $a$ и $b$:

$(a+b)^2 + c^2 + 2bc + 2ac$

Теперь в оставшихся слагаемых $2bc$ и $2ac$ вынесем общий множитель $2c$ за скобки:

$(a+b)^2 + 2c(b+a) + c^2$

Мы получили выражение, которое также является формулой квадрата суммы. Если мы временно обозначим $(a+b)$ как $X$, то выражение примет вид:

$X^2 + 2cX + c^2$

Это формула для $(X+c)^2$. Теперь вернемся к исходным переменным, подставив обратно $X = (a+b)$:

$((a+b) + c)^2 = (a+b+c)^2$

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на два одинаковых множителя:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a+b+c)(a+b+c)$

Ответ: $(a + b + c)^2$