Номер 492, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 492, страница 90.

Условие.

492. Известно, что при некоторых значениях x и y выполняется равенство $x^2 + y^2 = 1$. Найдите при этих же значениях x и y значение выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для нахождения значения выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$ воспользуемся известным равенством $x^2 + y^2 = 1$. Решим задачу двумя способами.

Способ 1: Метод прямой подстановки

Из равенства $x^2 + y^2 = 1$ выразим $x^2$:
$x^2 = 1 - y^2$.
Тогда $x^4 = (x^2)^2 = (1 - y^2)^2 = 1 - 2y^2 + y^4$.
Подставим выражения для $x^2$ и $x^4$ в искомое выражение:
$2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 = 2(1 - 2y^2 + y^4) + 3(1 - y^2)y^2 + y^4 + y^2$
Раскроем скобки:
$2 - 4y^2 + 2y^4 + 3y^2 - 3y^4 + y^4 + y^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$2 + (-4y^2 + 3y^2 + y^2) + (2y^4 - 3y^4 + y^4)$
$2 + (-4+3+1)y^2 + (2-3+1)y^4$
$2 + 0 \cdot y^2 + 0 \cdot y^4 = 2$.

Способ 2: Метод группировки и замены

Преобразуем исходное выражение $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$, чтобы использовать заданное условие $x^2 + y^2 = 1$.
Для этого представим слагаемое $3x^2y^2$ как сумму $2x^2y^2 + x^2y^2$:
$2x^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 + y^4 + y^2$
Сгруппируем слагаемые:
$(2x^4 + 2x^2y^2) + (x^2y^2 + y^4) + y^2$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$2x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) + y^2$
Теперь подставим значение $x^2 + y^2 = 1$ в полученное выражение:
$2x^2(1) + y^2(1) + y^2$
Упростим:
$2x^2 + y^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2$
Вынесем общий множитель 2 за скобку:
$2(x^2 + y^2)$
Снова применяем условие $x^2 + y^2 = 1$:
$2(1) = 2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2