Номер 486, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 486, страница 89.

Условие.

486. Разложите на множители выражение ($n$ — натуральное число):

1) $a^{n+1} + a^n + a + 1;$

2) $b^{n+2} - b - 1 + b^{n+1};$

3) $3y^{n+3} - 3y^2 - 5 + 5y^{n+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^{n+1} + a^n + a + 1$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^{n+1} + a^n) + (a + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^n$:

$a^n(a + 1) + 1 \cdot (a + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(a + 1)(a^n + 1)$

Ответ: $(a + 1)(a^n + 1)$

2) $b^{n+2} - b - 1 + b^{n+1}$

Сначала переставим слагаемые для удобства группировки:

$b^{n+2} + b^{n+1} - b - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(b^{n+2} + b^{n+1}) + (-b - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b^{n+1}$, из второй — $-1$:

$b^{n+1}(b + 1) - 1(b + 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b + 1)$:

$(b + 1)(b^{n+1} - 1)$

Ответ: $(b + 1)(b^{n+1} - 1)$

3) $3y^{n+3} - 3y^2 - 5 + 5y^{n+1}$

Переставим слагаемые для удобства группировки, сгруппировав члены с коэффициентом 3 и с коэффициентом 5:

$(3y^{n+3} - 3y^2) + (5y^{n+1} - 5)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $3y^2$, из второй — $5$:

$3y^2(y^{n+3-2} - 1) + 5(y^{n+1} - 1)$

$3y^2(y^{n+1} - 1) + 5(y^{n+1} - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y^{n+1} - 1)$:

$(y^{n+1} - 1)(3y^2 + 5)$

Ответ: $(y^{n+1} - 1)(3y^2 + 5)$