Номер 488, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 488, страница 89.

Условие.

488. Разложите на множители трёхчлен:

1) $x^2 + 4x + 3;$

2) $x^2 - 10x + 16;$

3) $x^2 + 3x - 18;$

4) $x^2 - 4x - 32.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^2 + 4x + 3$

Для разложения трёхчлена на множители, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=4$, $c=3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители выполняется по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим наши значения $a=1$, $x_1=-3$ и $x_2=-1$:

$x^2 + 4x + 3 = 1(x - (-3))(x - (-1)) = (x + 3)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.

2) $x^2 - 10x + 16$

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 10x + 16 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=16$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Разложим трёхчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 10x + 16 = 1(x - 2)(x - 8) = (x - 2)(x - 8)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 8)$.

3) $x^2 + 3x - 18$

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-18$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Разложим трёхчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 3x - 18 = 1(x - (-6))(x - 3) = (x + 6)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 6)$.

4) $x^2 - 4x - 32$

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-32$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Разложим трёхчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 4x - 32 = 1(x - (-4))(x - 8) = (x + 4)(x - 8)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 4)$.