Номер 484, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 484, страница 89.

Условие.

484. Разложите на множители многочлен:

1) $ax^2 + ay - bx^2 - by + cx^2 + cy;$

2) $a^2b + a + ab^2 + b + 3ab + 3;$

3) $x^3 - x^2 + x^2y + x - xy + y;$

4) $m^2n + mn - 5 - 5m + n - 5m^2;$

5) $x^6 - 2x^5 + 4x^3 - 8x^2 + 5x - 10;$

6) $a^3b + ab^2 - abc^3 - a^2c - bc + c^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения многочлена $ax^2 + ay - bx^2 - by + cx^2 + cy$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые с $x^2$ и слагаемые с $y$:
$(ax^2 - bx^2 + cx^2) + (ay - by + cy)$
В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:
$x^2(a - b + c) + y(a - b + c)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - b + c)$ за скобки:
$(a - b + c)(x^2 + y)$
Ответ: $(a - b + c)(x^2 + y)$

2) Для разложения многочлена $a^2b + a + ab^2 + b + 3ab + 3$ сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(a^2b + a) + (ab^2 + b) + (3ab + 3)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой из трех групп:
$a(ab + 1) + b(ab + 1) + 3(ab + 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(ab + 1)$ за скобки:
$(ab + 1)(a + b + 3)$
Ответ: $(ab + 1)(a + b + 3)$

3) Для разложения многочлена $x^3 - x^2 + x^2y + x - xy + y$ сгруппируем слагаемые, не содержащие $y$, и слагаемые, содержащие $y$:
$(x^3 - x^2 + x) + (x^2y - xy + y)$
Вынесем общие множители $x$ и $y$ за скобки в каждой группе:
$x(x^2 - x + 1) + y(x^2 - x + 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - x + 1)$ за скобки:
$(x + y)(x^2 - x + 1)$
Ответ: $(x + y)(x^2 - x + 1)$

4) В многочлене $m^2n + mn - 5 - 5m + n - 5m^2$ переставим слагаемые и сгруппируем их:
$m^2n - 5m^2 + mn - 5m + n - 5 = (m^2n - 5m^2) + (mn - 5m) + (n - 5)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$m^2(n - 5) + m(n - 5) + 1(n - 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(n - 5)$ за скобки:
$(n - 5)(m^2 + m + 1)$
Ответ: $(n - 5)(m^2 + m + 1)$

5) Для разложения многочлена $x^6 - 2x^5 + 4x^3 - 8x^2 + 5x - 10$ сгруппируем слагаемые попарно:
$(x^6 - 2x^5) + (4x^3 - 8x^2) + (5x - 10)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^5(x - 2) + 4x^2(x - 2) + 5(x - 2)$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)(x^5 + 4x^2 + 5)$
Ответ: $(x - 2)(x^5 + 4x^2 + 5)$

6) В многочлене $a^3b + ab^2 - abc^3 - a^2c - bc + c^4$ переставим слагаемые и сгруппируем их:
$a^3b - a^2c + ab^2 - bc - abc^3 + c^4 = (a^3b - a^2c) + (ab^2 - bc) - (abc^3 - c^4)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$a^2(ab - c) + b(ab - c) - c^3(ab - c)$
Теперь вынесем общий множитель $(ab - c)$ за скобки:
$(ab - c)(a^2 + b - c^3)$
Ответ: $(ab - c)(a^2 + b - c^3)$