Номер 491, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки - номер 491, страница 90.

Условие.

491. Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10 при любом натуральном значении $n > 1$, преобразуем данное выражение.

Сначала сгруппируем члены выражения с одинаковыми основаниями:

$(3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n)$

В каждой группе вынесем за скобки общий множитель, используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$3^n \cdot 3^2 + 3^n - (2^n \cdot 2^2 + 2^n) = 3^n(3^2 + 1) - 2^n(2^2 + 1)$

Теперь вычислим значения в скобках:

$3^n(9 + 1) - 2^n(4 + 1) = 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n$

Первый член полученного выражения, $10 \cdot 3^n$, очевидно делится на 10, так как содержит множитель 10.

Рассмотрим второй член, $5 \cdot 2^n$. По условию задачи $n$ — натуральное число, большее 1, то есть $n \ge 2$.

Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$. Тогда второй член можно переписать в виде:

$5 \cdot 2^n = 5 \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (5 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$, а значит $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $10 \cdot 2^{n-1}$ также делится на 10.

Таким образом, исходное выражение представляет собой разность двух членов, каждый из которых делится на 10:

$10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1}$

Вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10(3^n - 2^{n-1})$

Так как $n \ge 2$, то $n$ и $n-1$ — натуральные числа, а значит, $3^n$ и $2^{n-1}$ — целые числа. Их разность $(3^n - 2^{n-1})$ также является целым числом. Следовательно, всё выражение является произведением числа 10 и целого числа, что доказывает его делимость на 10 при любом натуральном $n > 1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.