Номер 469, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 469, страница 86.

Условие.

469. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно записать как $10a + b$.

По определению двузначного числа, $a$ – это целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – это целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно условию задачи, число равно произведению своих цифр, увеличенных на 1. Составим уравнение:

$10a + b = (a + 1)(b + 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$10a + b = ab + a + b + 1$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $b$:

$10a = ab + a + 1$

Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в левую часть:

$10a - a - ab = 1$

$9a - ab = 1$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(9 - b) = 1$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами, то выражения $a$ и $(9 - b)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: либо оба множителя равны 1, либо оба равны -1.

Рассмотрим первый случай: $a = 1$ и $9 - b = 1$.

Из второго уравнения находим $b$: $b = 9 - 1 = 8$.

Полученные значения $a=1$ и $b=8$ удовлетворяют исходным условиям для цифр двузначного числа. Искомое число равно $10 \cdot 1 + 8 = 18$.

Проверим: произведение его цифр, увеличенных на 1, равно $(1+1)(8+1) = 2 \cdot 9 = 18$. Условие $18 = 18$ выполняется.

Рассмотрим второй случай: $a = -1$ и $9 - b = -1$.

Значение $a = -1$ не подходит, так как цифра десятков двузначного числа должна быть натуральным числом от 1 до 9. Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию, это 18.

Ответ: 18.