Номер 468, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 468, страница 86.

Условие.

468. При каком значении a имеет бесконечно много корней уравнение:

1) $(x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6;$

2) $x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если в результате преобразований оно приводится к виду $0 \cdot x = 0$. Это означает, что коэффициент при переменной $x$ и свободный член должны одновременно равняться нулю.

1) $(x - 4)(x + a) - (x + 2)(x - a) = -6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + ax - 4x - 4a) - (x^2 - ax + 2x - 2a) = -6$

$x^2 + ax - 4x - 4a - x^2 + ax - 2x + 2a = -6$

Приведем подобные слагаемые:

$(ax + ax) + (-4x - 2x) + (-4a + 2a) = -6$

$2ax - 6x - 2a = -6$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а остальные перенесем в правую:

$(2a - 6)x = 2a - 6$

Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ и правая часть были равны нулю.

$2a - 6 = 0$

$2a = 6$

$a = 3$

При $a = 3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно при любом $x$.

Ответ: $a = 3$.

2) $x(3x - 2) - (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(3x^2 - 2x) - (3x^2 + 2x + 6ax + 4a) = 5a + 6$

$3x^2 - 2x - 3x^2 - 2x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(-2x - 2x - 6ax) - 4a = 5a + 6$

$-4x - 6ax - 4a = 5a + 6$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а остальные перенесем в правую:

$(-4 - 6a)x = 5a + 6 + 4a$

$(-4 - 6a)x = 9a + 6$

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, коэффициент при $x$ и правая часть должны одновременно равняться нулю. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} -4 - 6a = 0 \\ 9a + 6 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$-6a = 4$

$a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Решим второе уравнение:

$9a = -6$

$a = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

Поскольку оба условия выполняются при одном и том же значении $a = -\frac{2}{3}$, при этом значении $a$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$.

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$.