Номер 422, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 422, страница 79.

Условие.

422. Остаток при делении натурального числа $a$ на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа $b$ на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию, остаток при делении натурального числа $a$ на 8 равен 3. Это означает, что число $a$ можно представить в виде $a = 8k + 3$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.

Аналогично, остаток при делении натурального числа $b$ на 8 равен 7. Это означает, что число $b$ можно представить в виде $b = 8m + 7$, где $m$ — некоторое неотрицательное целое число.

Найдем произведение чисел $a$ и $b$, подставив эти выражения:

$a \cdot b = (8k + 3)(8m + 7)$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$a \cdot b = 8k \cdot 8m + 8k \cdot 7 + 3 \cdot 8m + 3 \cdot 7 = 64km + 56k + 24m + 21$

Наша цель — найти остаток от деления этого выражения на 8. Заметим, что первые три слагаемых делятся на 8 без остатка:

$64km = 8 \cdot (8km)$

$56k = 8 \cdot (7k)$

$24m = 8 \cdot (3m)$

Сгруппируем эти слагаемые и вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = (64km + 56k + 24m) + 21 = 8(8km + 7k + 3m) + 21$

Теперь рассмотрим число 21. При делении 21 на 8 получаем:

$21 = 2 \cdot 8 + 5$

Подставим это в выражение для $a \cdot b$:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m) + (8 \cdot 2 + 5)$

Снова вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m + 2) + 5$

Пусть $q = 8km + 7k + 3m + 2$. Так как $k$ и $m$ — целые числа, то и $q$ будет целым числом. Тогда произведение можно записать в виде:

$a \cdot b = 8q + 5$

Это по определению означает, что при делении произведения $a \cdot b$ на 8 получается частное $q$ и остаток 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5.