Номер 417, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 417, страница 78.

Условие.

417. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x + 3)(* + 5) = 3x^2 + * + *;$

2) $(x - 4)(x + *) = * + * + 24.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

В тождестве $(x + 3)(* + 5) = 3x^2 + * + *$ необходимо заменить звёздочки одночленами. Обозначим одночлен в скобках в левой части как $A$. $(x + 3)(A + 5) = 3x^2 + * + *$ Раскроем скобки в левой части: $x \cdot A + 5x + 3A + 15$. Сравним полученное выражение с правой частью тождества. Слагаемое с $x^2$, то есть $3x^2$, может получиться только в результате умножения $x$ на $A$. Следовательно, $x \cdot A = 3x^2$. Отсюда находим $A$: $A = \frac{3x^2}{x} = 3x$. Теперь подставим найденный одночлен $3x$ вместо первой звёздочки и преобразуем левую часть: $(x + 3)(3x + 5) = x \cdot 3x + x \cdot 5 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 = 3x^2 + 5x + 9x + 15$. Приведём подобные слагаемые: $3x^2 + 14x + 15$. Таким образом, правая часть тождества должна выглядеть как $3x^2 + 14x + 15$. Значит, звёздочки в правой части нужно заменить на одночлены $14x$ и $15$.
Ответ: $(x + 3)(3x + 5) = 3x^2 + 14x + 15$.

2)

В тождестве $(x - 4)(x + *) = * + * + 24$ необходимо заменить звёздочки одночленами. Обозначим одночлен в скобках в левой части как $A$. $(x - 4)(x + A) = * + * + 24$. Раскроем скобки в левой части: $x^2 + A \cdot x - 4x - 4A = x^2 + (A - 4)x - 4A$. Сравним полученное выражение с правой частью тождества. Свободный член (не содержащий переменную $x$) в правой части равен $24$. В левой части свободный член равен $-4A$. Чтобы это было возможно, $A$ должно быть числом (одночленом нулевой степени). Приравняем свободные члены: $-4A = 24$. Отсюда находим $A$: $A = \frac{24}{-4} = -6$. Теперь подставим найденное значение $A = -6$ в левую часть и преобразуем её: $(x - 4)(x + (-6)) = (x - 4)(x - 6) = x^2 - 6x - 4x + 24$. Приведём подобные слагаемые: $x^2 - 10x + 24$. Таким образом, правая часть тождества должна выглядеть как $x^2 - 10x + 24$. Значит, звёздочки в правой части нужно заменить на одночлены $x^2$ и $-10x$.
Ответ: $(x - 4)(x - 6) = x^2 - 10x + 24$.