Номер 414, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 414, страница 78.

Условие.

414. При всех ли натуральных значениях $n$ значение выражения $(n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ кратно 12?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы проверить, кратно ли значение выражения $(n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ числу 12 при всех натуральных значениях $n$, упростим это выражение.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого).
$(n + 9)(n + 11) = n \cdot n + n \cdot 11 + 9 \cdot n + 9 \cdot 11 = n^2 + 20n + 99$
$(n + 3)(n + 5) = n \cdot n + n \cdot 5 + 3 \cdot n + 3 \cdot 5 = n^2 + 8n + 15$

Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание.
$(n^2 + 20n + 99) - (n^2 + 8n + 15) = n^2 + 20n + 99 - n^2 - 8n - 15$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.
$(n^2 - n^2) + (20n - 8n) + (99 - 15) = 12n + 84$

Шаг 4: Проанализируем полученный результат $12n + 84$ на предмет делимости на 12. Для этого вынесем общий множитель 12 за скобки.
$12n + 84 = 12 \cdot n + 12 \cdot 7 = 12(n + 7)$

По условию, $n$ — натуральное число (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, выражение $n + 7$ также всегда будет целым числом. Произведение числа 12 на любое целое число $(n+7)$ всегда будет кратно 12.

Таким образом, значение исходного выражения кратно 12 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: да, при всех натуральных значениях $n$ значение выражения кратно 12.