Номер 413, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 413, страница 78.

Условие.

413. Докажите тождество:

1) $3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right);$

2) $(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3);$

3) $(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) = a^5 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества преобразуем его правую часть, раскрыв скобки. Сначала перемножим выражения в скобках, а затем умножим результат на 3.
$3(a + 3)(a + \frac{1}{3}) = 3(a \cdot a + a \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot a + 3 \cdot \frac{1}{3})$
$= 3(a^2 + \frac{1}{3}a + 3a + 1)$
Сложим подобные слагаемые внутри скобок:
$= 3(a^2 + (\frac{1}{3} + 3)a + 1) = 3(a^2 + \frac{10}{3}a + 1)$
Теперь умножим каждый член в скобках на 3:
$= 3 \cdot a^2 + 3 \cdot \frac{10}{3}a + 3 \cdot 1 = 3a^2 + 10a + 3$
В результате преобразования правой части мы получили выражение, идентичное левой части: $3a^2 + 10a + 3 = 3a^2 + 10a + 3$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части, раскрыв скобки.
Преобразуем левую часть:
$(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = a(a^2 + 5a + 6) + 1(a^2 + 5a + 6)$
$= a^3 + 5a^2 + 6a + a^2 + 5a + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$= a^3 + (5a^2 + a^2) + (6a + 5a) + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6$
Теперь преобразуем правую часть:
$(a^2 + 3a + 2)(a + 3) = a^2(a + 3) + 3a(a + 3) + 2(a + 3)$
$= a^3 + 3a^2 + 3a^2 + 9a + 2a + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$= a^3 + (3a^2 + 3a^2) + (9a + 2a) + 6 = a^3 + 6a^2 + 11a + 6$
В результате преобразований левая и правая части тождества оказались равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества раскроем скобки в левой части, умножив каждый член второй скобки сначала на $a$, а затем на 1.
$(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$
$= a(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) + 1(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$
$= (a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a) + (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$= a^5 - a^4 + a^4 + a^3 - a^3 - a^2 + a^2 + a - a + 1$
$= a^5 + (-a^4 + a^4) + (a^3 - a^3) + (-a^2 + a^2) + (a - a) + 1$
$= a^5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = a^5 + 1$
Полученное выражение $a^5 + 1$ равно правой части тождества. Тождество доказано. Данное тождество является формулой суммы пятых степеней.
Ответ: Тождество доказано.