Номер 410, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 410, страница 78.

Условие.

410. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 $\text{см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен 60 см. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 60$
Разделим обе части на 2:
$a+b = 30$

Площадь исходного прямоугольника $S$ равна $S = a \cdot b$.

Согласно условию, одну сторону уменьшили на 5 см (пусть это будет $a$), а другую увеличили на 3 см (пусть это будет $b$). Новые стороны равны $(a-5)$ см и $(b+3)$ см.
Новая площадь $S_{нов}$ равна произведению новых сторон: $S_{нов} = (a-5)(b+3)$.

Известно, что новая площадь на 21 см² меньше исходной, то есть $S_{нов} = S - 21$. Составим второе уравнение:
$(a-5)(b+3) = ab - 21$
Раскроем скобки в левой части:
$ab + 3a - 5b - 15 = ab - 21$
Сократим $ab$ в обеих частях и упростим выражение:
$3a - 5b - 15 = -21$
$3a - 5b = -21 + 15$
$3a - 5b = -6$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a+b = 30 \\ 3a - 5b = -6 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$:
$a = 30 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(30 - b) - 5b = -6$
$90 - 3b - 5b = -6$
$90 - 8b = -6$
$-8b = -6 - 90$
$-8b = -96$
$b = -96 / (-8)$
$b = 12$

Теперь найдем значение $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 30 - b$:
$a = 30 - 12$
$a = 18$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 18 см и 12 см.

Проверим полученный результат:
Периметр: $2 \cdot (18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60$ см. (Верно)
Исходная площадь: $18 \cdot 12 = 216$ см².
Новые стороны: $18 - 5 = 13$ см и $12 + 3 = 15$ см.
Новая площадь: $13 \cdot 15 = 195$ см².
Разница площадей: $216 - 195 = 21$ см². (Верно)

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 12 см.