Номер 411, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 411, страница 78.

Условие.

411. Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Если длину увеличить на 2 см, а ширину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см². Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ см.
Согласно условию, длина прямоугольника на 2 см больше его ширины, следовательно, исходная длина равна $(x + 2)$ см.

Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) равна произведению его длины на ширину:
$S_1 = x(x + 2) = x^2 + 2x$ (см²).

После изменений размеры нового прямоугольника стали:
Новая длина: $(x + 2) + 2 = (x + 4)$ см.
Новая ширина: $x - 4$ см.

Площадь нового прямоугольника ($S_2$) равна:
$S_2 = (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$ (см²).

По условию, площадь нового прямоугольника на 40 см² меньше площади исходного, что можно записать в виде уравнения: $S_1 - S_2 = 40$.
Подставим выражения для площадей и решим уравнение:
$(x^2 + 2x) - (x^2 - 16) = 40$
$x^2 + 2x - x^2 + 16 = 40$
$2x + 16 = 40$
$2x = 40 - 16$
$2x = 24$
$x = 12$

Таким образом, исходная ширина прямоугольника равна 12 см.
Найдем исходную длину: $x + 2 = 12 + 2 = 14$ см.

Ответ: исходная длина прямоугольника — 14 см, исходная ширина — 12 см.