Номер 415, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 415, страница 78.

Условие.

415. При всех ли натуральных значениях $n$ значение выражения $(n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1)$ кратно 8?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $(n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1)$.

1. Раскроем скобки в первой части выражения (произведение многочленов):

$(n + 29)(n + 3) = n \cdot n + n \cdot 3 + 29 \cdot n + 29 \cdot 3 = n^2 + 3n + 29n + 87 = n^2 + 32n + 87$

2. Раскроем скобки во второй части выражения:

$(n + 7)(n + 1) = n \cdot n + n \cdot 1 + 7 \cdot n + 7 \cdot 1 = n^2 + n + 7n + 7 = n^2 + 8n + 7$

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 32n + 87) - (n^2 + 8n + 7) = n^2 + 32n + 87 - n^2 - 8n - 7$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (32n - 8n) + (87 - 7) = 24n + 80$

5. Теперь нужно проверить, кратно ли полученное выражение $24n + 80$ числу 8. Для этого вынесем общий множитель 8 за скобки:

$24n + 80 = 8 \cdot 3n + 8 \cdot 10 = 8(3n + 10)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то выражение в скобках $(3n + 10)$ всегда будет целым числом. Так как всё выражение представляет собой произведение числа 8 на целое число, оно всегда будет делиться на 8 без остатка.

Следовательно, значение выражения $(n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1)$ кратно 8 при всех натуральных значениях $n$.

Ответ: да, кратно.