Номер 421, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 421, страница 79.

Условие.

421. Остаток при делении натурального числа $x$ на $6$ равен $3$, а остаток при делении натурального числа $y$ на $6$ равен $2$. Докажите, что произведение чисел $x$ и $y$ делится нацело на $6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По определению деления с остатком, если остаток при делении натурального числа $x$ на 6 равен 3, то число $x$ можно представить в виде формулы:

$x = 6k + 3$, где $k$ — это неполное частное, являющееся некоторым целым неотрицательным числом ($k \ge 0$).

Аналогично, если остаток при делении натурального числа $y$ на 6 равен 2, то число $y$ можно представить как:

$y = 6m + 2$, где $m$ — это неполное частное, являющееся некоторым целым неотрицательным числом ($m \ge 0$).

Теперь найдем произведение чисел $x$ и $y$, используя полученные выражения:

$x \cdot y = (6k + 3) \cdot (6m + 2)$

Чтобы найти произведение, раскроем скобки:

$x \cdot y = 6k \cdot 6m + 6k \cdot 2 + 3 \cdot 6m + 3 \cdot 2$

$x \cdot y = 36km + 12k + 18m + 6$

Чтобы доказать, что полученное произведение делится нацело на 6, необходимо показать, что его можно представить как 6, умноженное на некоторое целое число. Для этого вынесем общий множитель 6 за скобки:

$x \cdot y = 6 \cdot (6km + 2k + 3m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то результатом операций сложения и умножения над ними также будет целое число. Таким образом, выражение в скобках $(6km + 2k + 3m + 1)$ является целым числом.

Если мы обозначим это целое число как $N = 6km + 2k + 3m + 1$, то произведение примет вид:

$x \cdot y = 6N$

Это выражение по определению означает, что произведение $x \cdot y$ делится на 6 нацело.

Ответ: Что и требовалось доказать.