Номер 419, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 419, страница 79.

Условие.

419. Выбрали некоторые три последовательных натуральных числа. Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел? ___

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи в общем виде, обозначим три последовательных натуральных числа через переменные. Пусть второе, среднее число, будет $n$. Тогда первое число, предшествующее ему, будет $n-1$, а третье, следующее за ним, — $n+1$. Здесь $n$ — любое натуральное число, большее 1.

Согласно условию, нам нужно найти разность квадрата второго числа и произведения первого и третьего. Запишем это в виде выражения:
Квадрат второго числа: $n^2$.
Произведение первого и третьего чисел: $(n-1)(n+1)$.

Теперь составим их разность:
$n^2 - (n-1)(n+1)$

Для упрощения выражения $(n-1)(n+1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=n$ и $b=1$.
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Подставим полученный результат в исходное выражение:
$n^2 - (n^2 - 1) = n^2 - n^2 + 1 = 1$

В результате упрощения мы получили число 1. Это значение является постоянным и не зависит от переменной $n$, то есть от выбора конкретных трех последовательных натуральных чисел.

Проверим на примере. Возьмем числа 2, 3, 4.
Квадрат второго числа: $3^2 = 9$.
Произведение первого и третьего: $2 \cdot 4 = 8$.
Разность: $9 - 8 = 1$.
Возьмем числа 10, 11, 12.
Квадрат второго числа: $11^2 = 121$.
Произведение первого и третьего: $10 \cdot 12 = 120$.
Разность: $121 - 120 = 1$.
Примеры подтверждают наше алгебраическое решение.

Ответ: Нет, не зависит. Эта разность всегда равна 1.