Номер 409, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 409, страница 78.

Условие.

409. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Найдите сторону квадрата, если его площадь на $45 \, \text{см}^2$ больше площади данного прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть сторона квадрата равна $x$ см.

Согласно условию, сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника. Обозначим эту сторону прямоугольника как $a$. Тогда можно записать:
$a = x + 3$ (см).

Также по условию, сторона квадрата на 5 см больше другой стороны прямоугольника. Обозначим эту сторону прямоугольника как $b$. Тогда:
$b = x - 5$ (см).

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = x^2$.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{пр} = a \cdot b$. Подставив выражения для сторон, получим: $S_{пр} = (x+3)(x-5)$.

Известно, что площадь квадрата на 45 см² больше площади прямоугольника. Составим уравнение на основе этого условия:
$S_{кв} = S_{пр} + 45$
$x^2 = (x + 3)(x - 5) + 45$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в правой части:
$x^2 = x^2 - 5x + 3x - 15 + 45$
$x^2 = x^2 - 2x + 30$

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые значения оставим в правой. Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$x^2 - x^2 + 2x = 30$
$2x = 30$
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Таким образом, сторона квадрата равна 15 см.

Проверим найденное значение:
Сторона квадрата: $x = 15$ см.
Площадь квадрата: $S_{кв} = 15^2 = 225$ см².
Стороны прямоугольника:
$a = 15 + 3 = 18$ см.
$b = 15 - 5 = 10$ см.
Площадь прямоугольника: $S_{пр} = 18 \cdot 10 = 180$ см².
Разница площадей: $225 - 180 = 45$ см², что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 15 см.