Номер 401, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §11. Умножение многочлена на многочлен - номер 401, страница 77.

Условие.

401. Преобразуйте в многочлен выражения:

1) $(a+1)(a-2)(a-3);$

2) $(3a-2)(a+3)(a-7);$

3) $(a^2-2a+1)(a^2+3a-2);$

4) $(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a+1)(a-2)(a-3)$

Для преобразования выражения в многочлен, необходимо последовательно перемножить скобки. Сначала перемножим первые две скобки:

$(a+1)(a-2) = a \cdot a + a \cdot (-2) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$

Теперь умножим полученный многочлен на третью скобку $(a-3)$:

$(a^2 - a - 2)(a-3) = a^2(a-3) - a(a-3) - 2(a-3) = a^3 - 3a^2 - a^2 + 3a - 2a + 6$

Приведем подобные слагаемые, складывая или вычитая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $a$:

$a^3 + (-3-1)a^2 + (3-2)a + 6 = a^3 - 4a^2 + a + 6$

Ответ: $a^3 - 4a^2 + a + 6$.

2) $(3a-2)(a+3)(a-7)$

Выполним умножение скобок пошагово. Сначала перемножим последние две скобки:

$(a+3)(a-7) = a^2 - 7a + 3a - 21 = a^2 - 4a - 21$

Теперь умножим результат на первую скобку $(3a-2)$:

$(3a-2)(a^2 - 4a - 21) = 3a(a^2 - 4a - 21) - 2(a^2 - 4a - 21)$

Раскроем скобки:

$3a^3 - 12a^2 - 63a - 2a^2 + 8a + 42$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$3a^3 + (-12-2)a^2 + (-63+8)a + 42 = 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$

Ответ: $3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$.

3) $(a^2 - 2a + 1)(a^2 + 3a - 2)$

Для умножения двух многочленов нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

$a^2(a^2 + 3a - 2) - 2a(a^2 + 3a - 2) + 1(a^2 + 3a - 2)$

Раскроем скобки:

$(a^4 + 3a^3 - 2a^2) - (2a^3 + 6a^2 - 4a) + (a^2 + 3a - 2)$

$a^4 + 3a^3 - 2a^2 - 2a^3 - 6a^2 + 4a + a^2 + 3a - 2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (3a^3 - 2a^3) + (-2a^2 - 6a^2 + a^2) + (4a + 3a) - 2$

$a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$

Ответ: $a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$.

4) $(a+1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$

Данное выражение соответствует формуле суммы двух чисел в пятой степени: $x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$.

В данном случае $x=a$ и $y=1$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$(a+1)(a^4 - a^3\cdot1 + a^2\cdot1^2 - a\cdot1^3 + 1^4) = a^5 + 1^5 = a^5 + 1$

Можно также выполнить проверку путем прямого умножения:

$a(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1) + 1(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$

$= (a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a) + (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^5 - a^4 + a^4 + a^3 - a^3 - a^2 + a^2 + a - a + 1 = a^5 + 1$

Ответ: $a^5 + 1$.