Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 16 - номер 1, страница 103.

Условие.

1. Какое тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

1.

Формулой квадрата суммы двух выражений называют тождество, которое утверждает, что квадрат суммы двух любых выражений равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

В общем алгебраическом виде, если взять два произвольных выражения $a$ и $b$, то формула квадрата их суммы записывается следующим образом:

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Это тождество является одной из наиболее важных и часто используемых формул сокращённого умножения. Она позволяет упрощать сложные алгебраические выражения, быстро возводить в квадрат двучлены и является основой для решения многих уравнений и задач.

Доказательство формулы

Доказать данное тождество можно путем прямого раскрытия скобок, основываясь на определении возведения в степень и распределительном законе умножения.

1. По определению, квадрат любого выражения — это результат умножения этого выражения на само себя. Следовательно, мы можем записать:

$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) $

2. Теперь применим правило умножения многочлена на многочлен ("каждый на каждый"). Каждый член из первой скобки умножается на каждый член из второй скобки:

$ (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b $

3. Выполним умножение и приведем подобные слагаемые. Учитывая, что умножение коммутативно (то есть $a \cdot b = b \cdot a$), слагаемые $ab$ и $ba$ являются подобными:

$ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного выражения $ (a+b)^2 $ тождественно равна правой части $ a^2 + 2ab + b^2 $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество, называемое формулой квадрата суммы двух выражений, имеет вид: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.