Номер 566, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §15. Разность квадратов двух выражений - номер 566, страница 101.

Условие.

566. Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $N = 101$ - общее количество блюд в меню. Количество способов выбрать $k$ блюд из $N$ равно числу сочетаний из $N$ по $k$, которое обозначается как $C_N^k$ или $\binom{N}{k}$.

Пусть $S_{нечёт}$ - это количество способов выбрать обед из нечётного числа блюд. Согласно условию, нельзя заказывать все 101 блюдо. Так как 101 - нечётное число, этот вариант выбора исключается. Таким образом, количество блюд в обеде может быть 1, 3, 5, ..., 99.

$S_{нечёт} = \binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \binom{101}{5} + \dots + \binom{101}{99}$

Пусть $S_{чёт}$ - это количество способов выбрать обед из чётного числа блюд. Обед не может состоять из 0 блюд, поэтому количество блюд в обеде может быть 2, 4, 6, ..., 100. Условие про запрет заказа всех блюд не влияет на этот случай, так как 101 - нечётное число.

$S_{чёт} = \binom{101}{2} + \binom{101}{4} + \binom{101}{6} + \dots + \binom{101}{100}$

Нам необходимо доказать, что $S_{нечёт} = S_{чёт}$.

Воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, которое следует из разложения бинома Ньютона для $(1-x)^n$ при $x=1$: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = (1-1)^n = 0$

При $n=101$ имеем: $\binom{101}{0} - \binom{101}{1} + \binom{101}{2} - \binom{101}{3} + \dots + \binom{101}{100} - \binom{101}{101} = 0$

Перегруппируем слагаемые, перенеся все члены с отрицательным знаком в правую часть равенства: $\binom{101}{0} + \binom{101}{2} + \binom{101}{4} + \dots + \binom{101}{100} = \binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \dots + \binom{101}{99} + \binom{101}{101}$

Левая часть этого равенства представляет собой сумму $S_{чёт}$ и слагаемого $\binom{101}{0}$: $S_{чёт} + \binom{101}{0}$

Правая часть представляет собой сумму $S_{нечёт}$ и слагаемого $\binom{101}{101}$: $S_{нечёт} + \binom{101}{101}$

Таким образом, мы получили равенство: $S_{чёт} + \binom{101}{0} = S_{нечёт} + \binom{101}{101}$

Известно, что для любого натурального $n$ выполняются равенства: $\binom{n}{0} = 1$ и $\binom{n}{n} = 1$.

Следовательно, $\binom{101}{0} = 1$ и $\binom{101}{101} = 1$.

Подставим эти значения в наше равенство: $S_{чёт} + 1 = S_{нечёт} + 1$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $S_{чёт} = S_{нечёт}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при заданных условиях.