Номер 187, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 187, страница 41.

Условие.

187. Докажите, что выражение $x^2 + (x - 1)^2$ принимает только положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим выражение $x^2 + (x - 1)^2$. Оно представляет собой сумму двух слагаемых: $x^2$ и $(x - 1)^2$.

Каждое из этих слагаемых является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).
Следовательно, $x^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной:
$x^2 + (x - 1)^2 \ge 0$.

Теперь проверим, может ли данное выражение быть равным нулю. Равенство нулю для суммы двух неотрицательных слагаемых возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю:
$x^2 = 0$ и $(x - 1)^2 = 0$.

Из первого уравнения следует, что $x = 0$.
Из второго уравнения следует, что $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.

Переменная $x$ не может одновременно принимать значения 0 и 1. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором оба слагаемых одновременно равны нулю. Это означает, что их сумма никогда не может быть равна нулю.

Поскольку выражение $x^2 + (x - 1)^2$ всегда неотрицательно и никогда не равно нулю, оно должно быть всегда строго положительным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение представляет собой сумму двух квадратов, $x^2$ и $(x-1)^2$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, а оба этих квадрата не могут быть равны нулю одновременно, их сумма всегда строго больше нуля, то есть принимает только положительные значения.