Номер 191, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 191, страница 41.

Условие.

191. При каких значениях x и y верно равенство:

1) $x^2 + y^2 = 0;$

2) $(x - 1)^4 + (y + 2)^6 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим равенство $x^2 + y^2 = 0$.

Выражения $x^2$ и $y^2$ представляют собой квадраты действительных чисел. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:

$\begin{cases} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы уравнений находим значения $x$ и $y$:

$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

Таким образом, равенство верно только при $x=0$ и $y=0$.

Ответ: $x = 0, y = 0$.

2)

Рассмотрим равенство $(x - 1)^4 + (y + 2)^6 = 0$.

Оба слагаемых в левой части уравнения возведены в четную степень (4 и 6). Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. Поэтому $(x - 1)^4 \ge 0$ и $(y + 2)^6 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^4 = 0 \\ (y + 2)^6 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Если степень выражения равна нулю, то и само основание степени равно нулю:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases}$

Отсюда находим значения переменных:

$\begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases}$

Следовательно, данное равенство верно только при $x = 1$ и $y = -2$.

Ответ: $x = 1, y = -2$.