Номер 192, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 192, страница 41.

Условие.

192. При каких значениях x и y верно равенство $x^2 + (y - 3)^2 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Дано равенство $x^8 + (y-3)^2 = 0$.

Левая часть этого равенства представляет собой сумму двух слагаемых: $x^8$ и $(y-3)^2$.

Первое слагаемое $x^8$ — это переменная в четной степени (8), поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $x^8 \ge 0$. Равенство $x^8=0$ выполняется только при $x=0$.

Второе слагаемое $(y-3)^2$ — это квадрат выражения, поэтому его значение также всегда неотрицательно: $(y-3)^2 \ge 0$. Равенство $(y-3)^2=0$ выполняется только тогда, когда основание степени равно нулю, то есть $y-3=0$, откуда $y=3$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, исходное равенство может быть верным, только если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} x^8 = 0 \\ (y-3)^2 = 0\end{cases}$

Решая эту систему, находим:

Из первого уравнения: $x=0$.
Из второго уравнения: $y-3=0 \implies y=3$.

Таким образом, равенство верно только при $x=0$ и $y=3$.

Ответ: $x=0$, $y=3$.