Номер 188, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 188, страница 41.

Условие.

188. Докажите, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства того, что выражение $(x + 1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения, проанализируем его слагаемые.

Выражение состоит из двух слагаемых: $(x + 1)^2$ и $|x|$.

1. Первое слагаемое $(x + 1)^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Таким образом, $(x + 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Равенство нулю достигается только в том случае, если $x + 1 = 0$, то есть при $x = -1$.

2. Второе слагаемое $|x|$ является модулем (абсолютной величиной) действительного числа. Модуль любого действительного числа также всегда неотрицателен. Таким образом, $|x| \ge 0$ для любого значения $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также является неотрицательной величиной, поэтому $(x + 1)^2 + |x| \ge 0$.

Чтобы доказать, что выражение всегда строго положительно (то есть больше нуля), нужно показать, что оно никогда не может быть равно нулю. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Проверим, возможно ли это для данного выражения:

• $(x + 1)^2 = 0$ выполняется при $x = -1$.
• $|x| = 0$ выполняется при $x = 0$.

Для того чтобы вся сумма была равна нулю, необходимо, чтобы переменная $x$ одновременно принимала значения $-1$ и $0$, что невозможно. Следовательно, слагаемые $(x + 1)^2$ и $|x|$ не могут быть равны нулю одновременно. Это означает, что хотя бы одно из слагаемых всегда будет строго положительным.

Поскольку одно из неотрицательных слагаемых всегда положительно, их сумма также всегда будет положительной. Таким образом, выражение $(x + 1)^2 + |x| > 0$ для всех действительных значений $x$.

Ответ: Доказано, что выражение $(x + 1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения, так как оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, $(x+1)^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, которые не могут одновременно равняться нулю ни при каком значении $x$.