Номер 195, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 195, страница 42.

Условие.

195. Докажите, что значение выражения:

1) $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на 2;

2) $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на 10;

3) $10^{10} - 7$ делится нацело на 3;

4) $6^n - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на $2$, необходимо показать, что оно является четным числом. Четность степени числа определяется четностью его основания.
Число $101$ является нечетным. Любая натуральная степень нечетного числа также является нечетным числом. Следовательно, $101^{101}$ — нечетное число.
Аналогично, число $103$ является нечетным, поэтому $103^{103}$ — также нечетное число.
Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом (нечетное + нечетное = четное).
Таким образом, выражение $101^{101} + 103^{103}$ представляет собой сумму двух нечетных чисел, результат которой — четное число. А любое четное число делится нацело на $2$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на $10$, нужно показать, что его последняя цифра равна $0$. Последняя цифра значения выражения зависит только от последних цифр его компонентов.
Найдем последнюю цифру каждого члена выражения:
- Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на $6$, также оканчивается на $6$. Следовательно, $16^7$ оканчивается на $6$.
- Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на $5$ (кроме нулевой), также оканчивается на $5$. Следовательно, $15^8$ оканчивается на $5$.
- Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на $1$, также оканчивается на $1$. Следовательно, $11^9$ оканчивается на $1$.
Теперь определим последнюю цифру всего выражения, выполнив действия с последними цифрами: $6 + 5 - 1$.
$6 + 5 = 11$, последняя цифра суммы — $1$.
$1 - 1 = 0$.
Так как последняя цифра значения выражения равна $0$, то все выражение делится нацело на $10$.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $10^{10} - 7$ делится нацело на $3$, воспользуемся признаком делимости на $3$: число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$.
Число $10^{10}$ представляет собой единицу с десятью нулями: $10\,000\,000\,000$.
Вычислим значение выражения: $10^{10} - 7 = 10\,000\,000\,000 - 7 = 9\,999\,999\,993$.
Теперь найдем сумму цифр полученного числа: $9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 3 = 9 \cdot 9 + 3 = 81 + 3 = 84$.
Проверим, делится ли сумма цифр ($84$) на $3$: $84 : 3 = 28$.
Поскольку сумма цифр числа $9\,999\,999\,993$ делится на $3$, то и само число делится нацело на $3$.
Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $6^n - 1$ делится нацело на $5$ при любом натуральном значении $n$, нужно показать, что последняя цифра этого выражения равна $0$ или $5$.
Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $6^n$ при любом натуральном $n$.
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на $6$, также будет оканчиваться на $6$.
Следовательно, число $6^n$ при любом натуральном $n$ имеет последнюю цифру $6$.
Тогда разность $6^n - 1$ будет оканчиваться на цифру, равную разности последних цифр: $6 - 1 = 5$.
Любое целое число, оканчивающееся на $5$, делится нацело на $5$. Значит, и выражение $6^n - 1$ делится нацело на $5$ при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.