Номер 196, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 196, страница 42.

Условие.

196. Докажите, что значение выражения:

1) $10^{100} + 8$ делится нацело на 9;

2) $111^n - 6$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для доказательства воспользуемся признаком делимости на 9: число делится нацело на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим число $10^{100}$. В десятичной записи это число представляет собой единицу, за которой следуют 100 нулей ($100...0$).

Следовательно, выражение $10^{100} + 8$ будет равно числу, в котором за единицей следуют 99 нулей, а затем восьмерка ($100...08$).

Найдем сумму цифр этого числа: $1 + \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{99 \text{ нулей}} + 8 = 1 + 0 + 8 = 9$.

Сумма цифр числа $10^{100} + 8$ равна 9. Поскольку 9 делится нацело на 9, то и само число $10^{100} + 8$ делится нацело на 9, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Для доказательства воспользуемся признаком делимости на 5: число делится нацело на 5, если его десятичная запись оканчивается на 0 или 5.

Определим, на какую цифру оканчивается значение выражения $111^n - 6$ при любом натуральном $n$.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания. Основание степени $111^n$ — это число 111, которое оканчивается на 1.

При умножении чисел, оканчивающихся на 1, результат также будет оканчиваться на 1. Поскольку $111^n = \underbrace{111 \cdot 111 \cdot \dots \cdot 111}_{n \text{ раз}}$, то число $111^n$ при любом натуральном $n$ будет оканчиваться на 1.

Теперь рассмотрим разность $111^n - 6$. Мы вычитаем 6 из числа, которое оканчивается на 1. Результатом такого вычитания всегда будет число, оканчивающееся на 5 (например, $21 - 6 = 15$; $131 - 6 = 125$).

Так как значение выражения $111^n - 6$ всегда оканчивается на 5, оно делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.