Номер 201, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §5. Степень с натуральным показателем - номер 201, страница 42.

Условие.

201. Известно, что одно из чисел $a, b$ и $c$ положительное, второе – отрицательное, а третье равно нулю, причём $|a| = b^2(b - c)$. Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию, одно из чисел $a$, $b$ и $c$ является положительным, второе — отрицательным, а третье — равно нулю. Проанализируем данное равенство: $|a| = b^2(b - c)$.

Левая часть равенства, $|a|$, по определению модуля, не может быть отрицательной, то есть $|a| \ge 0$.

Рассмотрим, какие из чисел могут быть равны нулю.

• Предположим, что $a = 0$. Тогда $|a| = 0$, и равенство примет вид $0 = b^2(b - c)$. Это возможно, если $b=0$ или $b=c$. Если $b=0$, то уже два числа ($a$ и $b$) равны нулю, что противоречит условию, по которому только одно число равно нулю. Если $b=c$ (и они не равны нулю), то у нас есть число $a=0$ и два равных ненулевых числа $b$ и $c$. Но по условию оставшиеся два числа должны быть одно положительным, а другое отрицательным, что невозможно, если они равны. Следовательно, предположение неверно и $a \ne 0$.
• Предположим, что $b = 0$. Тогда правая часть равенства равна нулю: $b^2(b - c) = 0$. Это означает, что $|a|=0$, и, следовательно, $a=0$. Мы снова получаем два числа, равных нулю ($a$ и $b$), что противоречит условию. Следовательно, $b \ne 0$.

Поскольку ни $a$, ни $b$ не равны нулю, по условию задачи равным нулю должно быть число $c$. Итак, $c = 0$.

Так как $a \ne 0$, его модуль $|a|$ является строго положительным числом: $|a| > 0$. Из равенства следует, что и правая часть должна быть положительной: $b^2(b - c) > 0$.

Мы уже установили, что $b \ne 0$, поэтому $b^2$ всегда строго больше нуля ($b^2 > 0$). Разделив неравенство $b^2(b - c) > 0$ на положительное число $b^2$, получим равносильное неравенство:$b - c > 0$, что означает $b > c$.

Теперь, зная, что $c = 0$, подставим это значение в неравенство $b > c$:$b > 0$. Это означает, что число $b$ является положительным.

Мы выяснили, что $c = 0$ и $b$ — положительное число. По условию, среди трех чисел одно должно быть отрицательным. Методом исключения заключаем, что $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Ответ: число $a$ — отрицательное, число $b$ — положительное, число $c$ — равно нулю.