Номер 3, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 6 - номер 3, страница 46.

Условие.

3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Это правило можно записать в виде формулы. Для любого числа a, не равного нулю, и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство:

$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ или $ a^m : a^n = a^{m-n} $

Пример 1:

Вычислить $ 4^5 : 4^3 $.

Основание степени одинаковое и равно 4. Оставляем его без изменений. Из показателя степени делимого (5) вычитаем показатель степени делителя (3):

$ 4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2 $

$ 4^2 = 16 $

Пример 2:

Упростить выражение $ x^9 : x^2 $, где $ x \neq 0 $.

$ x^9 : x^2 = x^{9-2} = x^7 $

Объяснение правила:

Рассмотрим частное $ a^m : a^n $. По определению степени, мы можем записать это в виде дроби, где в числителе будет произведение из m множителей, а в знаменателе — из n множителей:

$ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{\text{m раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{\text{n раз}}} $

При делении мы можем сократить $ n $ одинаковых множителей в числителе и знаменателе (при условии $ m>n $). После сокращения в числителе останется $ m - n $ множителей.

$ \frac{\overbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}^{\text{n раз}} \cdot \overbrace{a \cdot \dots \cdot a}^{\text{m-n раз}}}{\underbrace{\cancel{a} \cdot \dots \cdot \cancel{a}}_{\text{n раз}}} = \overbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}^{\text{m-n раз}} = a^{m-n} $

Таким образом, мы доказали справедливость формулы.

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула этого правила: $ a^m : a^n = a^{m-n} $ (при $ a \neq 0 $).