Номер 207, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 207, страница 47.

Условие.

207. Представьте выражение $a^{12}$ в виде произведения двух степеней с основаниями $a$, одна из которых равна:

1) $a^{6}$;

2) $a^{4}$;

3) $a^{3}$;

4) $a^{5}$;

5) $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое формулируется так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Нам необходимо представить выражение $a^{12}$ в виде произведения двух степеней с основанием $a$. Для этого мы найдем показатель степени второго множителя, зная показатель степени первого.

1) $a^6$;

Пусть один из множителей равен $a^6$. Обозначим второй множитель как $a^x$. Тогда их произведение должно быть равно $a^{12}$:
$a^6 \cdot a^x = a^{12}$
Согласно свойству умножения степеней, сумма их показателей должна быть равна 12:
$6 + x = 12$
Решаем уравнение относительно $x$:
$x = 12 - 6$
$x = 6$
Следовательно, второй множитель равен $a^6$.
Ответ: $a^{12} = a^6 \cdot a^6$.

2) $a^4$;

Пусть один из множителей равен $a^4$. Второй множитель обозначим как $a^x$.
$a^4 \cdot a^x = a^{12}$
Складываем показатели степеней:
$4 + x = 12$
Находим $x$:
$x = 12 - 4$
$x = 8$
Таким образом, второй множитель равен $a^8$.
Ответ: $a^{12} = a^4 \cdot a^8$.

3) $a^3$;

Пусть один из множителей равен $a^3$. Второй множитель обозначим как $a^x$.
$a^3 \cdot a^x = a^{12}$
Складываем показатели степеней:
$3 + x = 12$
Находим $x$:
$x = 12 - 3$
$x = 9$
Следовательно, второй множитель равен $a^9$.
Ответ: $a^{12} = a^3 \cdot a^9$.

4) $a^5$;

Пусть один из множителей равен $a^5$. Второй множитель обозначим как $a^x$.
$a^5 \cdot a^x = a^{12}$
Складываем показатели степеней:
$5 + x = 12$
Находим $x$:
$x = 12 - 5$
$x = 7$
Таким образом, второй множитель равен $a^7$.
Ответ: $a^{12} = a^5 \cdot a^7$.

5) $a$.

Выражение $a$ является степенью с показателем 1, то есть $a = a^1$. Пусть один из множителей равен $a^1$. Второй множитель обозначим как $a^x$.
$a^1 \cdot a^x = a^{12}$
Складываем показатели степеней:
$1 + x = 12$
Находим $x$:
$x = 12 - 1$
$x = 11$
Следовательно, второй множитель равен $a^{11}$.
Ответ: $a^{12} = a \cdot a^{11}$.