Номер 211, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 211, страница 47.

Условие.

211. Представьте в виде степени с основанием $m$ выражение:

1) $(m^5)^3$

2) $(m^3)^4$

3) $((m^2)^4)^6$

4) $(m^7)^2 \cdot (m^4)^9$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить выражение $(m^5)^3$ в виде степени с основанием $m$, нужно воспользоваться свойством возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$. В данном случае основание $a = m$, а показатели степеней $n = 5$ и $k = 3$. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
$(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$.
Ответ: $m^{15}$.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство возведения степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ к выражению $(m^3)^4$. Здесь основание $a = m$, а показатели $n = 3$ и $k = 4$. Перемножаем показатели:
$(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$.
Ответ: $m^{12}$.

3) В выражении $((m^2)^4)^6$ свойство возведения степени в степень применяется последовательно. Можно перемножить все показатели степеней: $2 \cdot 4 \cdot 6$.
Сначала упростим внутреннюю часть: $(m^2)^4 = m^{2 \cdot 4} = m^8$.
Затем возведем результат в 6-ю степень: $(m^8)^6 = m^{8 \cdot 6} = m^{48}$.
Таким образом, $((m^2)^4)^6 = m^{2 \cdot 4 \cdot 6} = m^{48}$.
Ответ: $m^{48}$.

4) Для выражения $(m^7)^2 \cdot (m^4)^9$ необходимо использовать два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.
Сначала упростим каждый множитель:
$(m^7)^2 = m^{7 \cdot 2} = m^{14}$.
$(m^4)^9 = m^{4 \cdot 9} = m^{36}$.
Теперь перемножим полученные степени. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$m^{14} \cdot m^{36} = m^{14 + 36} = m^{50}$.
Ответ: $m^{50}$.