Номер 217, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 217, страница 47.

Условие.

217. Упростите выражение:

1) $ (-a^5)^2; $

2) $ (-a^3)^3; $

3) $ (-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы упростить выражение $(-a^5)^2$, нужно использовать свойство возведения в степень произведения и свойство возведения степени в степень.
Так как показатель степени $2$ является четным числом, то знак минус при возведении в степень исчезает: $(-a^5)^2 = (a^5)^2$.
Далее, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$

2) Для упрощения выражения $(-a^3)^3$ применим те же свойства степеней.
Так как показатель степени $3$ является нечетным числом, то знак минус сохраняется: $(-a^3)^3 = -(a^3)^3$.
Используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$-(a^3)^3 = -a^{3 \cdot 3} = -a^9$.
Ответ: $-a^9$

3) Рассмотрим выражение $(-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6$. Упростим каждый множитель по отдельности.
Первый множитель: $(-a^4)^7$. Так как степень $7$ нечетная, знак минус сохраняется:
$(-a^4)^7 = -(a^4)^7 = -a^{4 \cdot 7} = -a^{28}$.
Второй множитель: $(-a^2)^6$. Так как степень $6$ четная, знак минус исчезает:
$(-a^2)^6 = (a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(-a^{28}) \cdot (a^{12})$.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получаем:
$-a^{28} \cdot a^{12} = -a^{28+12} = -a^{40}$.
Ответ: $-a^{40}$