Номер 222, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 222, страница 48.

Условие.

222. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника):

1) $2^2 \cdot 2^8$;

2) $(2^2)^3$;

3) $3^2 \cdot 3 \cdot 3^8$;

4) $0,3^8 : 0,3^5$;

5) $7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9$;

6) $12,5^3 \cdot 8^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, оставив основание без изменений. Используем свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^2 \cdot 2^8 = 2^{2+8} = 2^{10}$.
Теперь вычислим значение выражения. $2^{10}$ означает, что число 2 умножается само на себя 10 раз.
$2^{10} = 1024$.
Ответ: $2^{10} = 1024$.

2) При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается прежним. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.
Вычислим значение выражения.
$2^6 = 64$.
Ответ: $2^6 = 64$.

3) Представим множитель $3$ как $3^1$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$.
$3^2 \cdot 3 \cdot 3^3 = 3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3 = 3^{2+1+3} = 3^6$.
Вычислим значение выражения.
$3^6 = 729$.
Ответ: $3^6 = 729$.

4) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно из показателя делимого вычесть показатель делителя, оставив основание без изменений. Используем свойство степени $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^{8-5} = 0,3^3$.
Вычислим значение выражения.
$0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$.
Ответ: $0,3^3 = 0,027$.

5) Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменений. Используем свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$7^9 \cdot (\frac{1}{14})^9 = (7 \cdot \frac{1}{14})^9 = (\frac{7}{14})^9 = (\frac{1}{2})^9$.
Вычислим значение выражения.
$(\frac{1}{2})^9 = \frac{1^9}{2^9} = \frac{1}{512}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.

6) Применяем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$12,5^3 \cdot 8^3 = (12,5 \cdot 8)^3$.
Вычислим произведение в основании: $12,5 \cdot 8 = 100$.
Получаем степень $100^3$.
Вычислим значение выражения.
$100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1 000 000$.
Ответ: $100^3 = 1 000 000$.