Номер 218, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 218, страница 47.

Условие.

218. Упростите выражение:

1) $((-a^6)^5)^9$

2) $((-a^{11})^2)^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для упрощения выражения $ ((-a^6)^5)^9 $ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $. Упрощение можно выполнить последовательно, изнутри наружу, или перемножив все показатели степени сразу.

Способ 1: Последовательное упрощение.

Сначала упростим выражение в самых внутренних скобках: $ (-a^6)^5 $. Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, знак минус сохраняется:

$ (-a^6)^5 = - (a^6)^5 = -a^{6 \cdot 5} = -a^{30} $.

Теперь исходное выражение выглядит так: $ (-a^{30})^9 $.

Снова применяем свойство степени. Показатель степени 9 также является нечетным, поэтому знак минус снова сохраняется:

$ (-a^{30})^9 = -(a^{30})^9 = -a^{30 \cdot 9} = -a^{270} $.

Способ 2: Упрощение знака и степени отдельно.

Для переменной $a$ можно сразу перемножить все показатели степеней: $ a^{6 \cdot 5 \cdot 9} = a^{270} $.

Знак выражения определяется последовательным возведением в степень -1. Сначала $ (-1) $ возводится в степень 5 (нечетная), результат будет -1. Затем этот результат $ (-1) $ возводится в степень 9 (нечетная), итоговый результат снова будет -1. Таким образом, итоговый знак выражения — минус.

Объединяя знак и переменную, получаем $ -a^{270} $.

Ответ: $ -a^{270} $

2) Для упрощения выражения $ ((-a^{11})^2)^3 $ также воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $.

Способ 1: Последовательное упрощение.

Сначала упростим выражение во внутренних скобках: $ (-a^{11})^2 $.

Поскольку показатель степени 2 является четным числом, при возведении отрицательного основания в эту степень знак минус исчезает (результат становится положительным):

$ (-a^{11})^2 = (a^{11})^2 = a^{11 \cdot 2} = a^{22} $.

Теперь исходное выражение принимает вид $ (a^{22})^3 $.

Применяем свойство степени еще раз:

$ (a^{22})^3 = a^{22 \cdot 3} = a^{66} $.

Способ 2: Упрощение знака и степени отдельно.

Для переменной $a$ перемножим все показатели степеней: $ a^{11 \cdot 2 \cdot 3} = a^{66} $.

Знак выражения определяется показателем степени, в которую возводится отрицательное основание. В данном случае это степень 2 (четная), поэтому $ (-1)^2 = 1 $. Дальнейшее возведение в степень 3 на знак не влияет, так как $ 1^3 = 1 $. Таким образом, итоговый знак выражения — плюс.

Объединяя знак и переменную, получаем $ a^{66} $.

Ответ: $ a^{66} $