Номер 212, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 212, страница 47.

Условие.

212. Представьте в виде степени с основанием $n$ выражение:

1) $(n^2)^8$,

2) $(n^9)^5$,

3) $((n^3)^2)^{10}$,

4) $(n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства степеней.

Основное свойство для первых трех пунктов — возведение степени в степень. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Формула выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Для четвертого пункта дополнительно понадобится свойство умножения степеней с одинаковым основанием. При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1)

В выражении $(n^2)^8$ мы применяем правило возведения степени в степень. Основание $n$ остается без изменений, а показатели $2$ и $8$ перемножаются.
$(n^2)^8 = n^{2 \cdot 8} = n^{16}$.
Ответ: $n^{16}$.

2)

В выражении $(n^9)^5$ мы также применяем правило возведения степени в степень. Основание $n$ оставляем, а показатели $9$ и $5$ перемножаем.
$(n^9)^5 = n^{9 \cdot 5} = n^{45}$.
Ответ: $n^{45}$.

3)

В выражении $((n^3)^2)^{10}$ правило возведения степени в степень применяется последовательно. Можно перемножить все показатели степеней: $3$, $2$ и $10$.
$((n^3)^2)^{10} = n^{3 \cdot 2 \cdot 10} = n^{6 \cdot 10} = n^{60}$.
Ответ: $n^{60}$.

4)

В выражении $(n^{12})^4 \cdot (n^{21})^2$ сначала упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень.
Первый множитель: $(n^{12})^4 = n^{12 \cdot 4} = n^{48}$.
Второй множитель: $(n^{21})^2 = n^{21 \cdot 2} = n^{42}$.
Теперь выражение имеет вид: $n^{48} \cdot n^{42}$.
Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием, складывая их показатели.
$n^{48} \cdot n^{42} = n^{48 + 42} = n^{90}$.
Ответ: $n^{90}$.