Номер 206, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 206, страница 47.

Условие.

206. Замените звёздочку такой степенью с основанием $a$, чтобы выполнялось равенство:

1) $a^6 \cdot * = a^{14};$

2) $* \cdot a^6 = a^7;$

3) $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) В равенстве $a^6 \cdot * = a^{14}$ заменим звёздочку на искомую степень $a^x$. Получим уравнение: $a^6 \cdot a^x = a^{14}$.

Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), левую часть равенства можно представить в виде $a^{6+x}$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $a^{6+x} = a^{14}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы, их показатели должны быть равны: $6 + x = 14$.

Решая это линейное уравнение, находим $x$: $x = 14 - 6 = 8$.

Следовательно, вместо звёздочки должна стоять степень $a^8$.

Ответ: $a^8$.

2) В равенстве $* \cdot a^6 = a^7$ заменим звёздочку на степень $a^x$: $a^x \cdot a^6 = a^7$.

Используя свойство умножения степеней, получаем: $a^{x+6} = a^7$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $x + 6 = 7$.

Находим $x$: $x = 7 - 6 = 1$.

Следовательно, искомая степень — это $a^1$, или просто $a$.

Ответ: $a^1$.

3) В равенстве $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}$ заменим звёздочку на $a^x$: $a^{10} \cdot a^x \cdot a^2 = a^{18}$.

Упростим левую часть, сложив показатели степеней с основанием $a$: $a^{10+x+2} = a^{18}$, что равносильно $a^{12+x} = a^{18}$.

Приравниваем показатели степеней: $12 + x = 18$.

Находим $x$: $x = 18 - 12 = 6$.

Следовательно, вместо звёздочки должна стоять степень $a^6$.

Ответ: $a^6$.